輸入單詞

常用詞典

[數] 商空間

例句

Quotient space;

商空間；

Next discuss how to build a model of the quotient space from the structure.

讨論如何從結構着手來建立商空間模型。

The theory of the quotient space is a new mathematical tool for the study of the different granularity world.

商空間理論是研究不同粒度世界的一種新的數學工具。

Quotient space theory for treatment of high-dimensional, incomplete, complex, vague, massive data, there are unique advantages.

商空間理論在處理高維、不完備、複雜的、模糊的、海量數據時，有其獨特的優勢。

We introduce the notion of topological direct sum, and get a representative theorem of inductive limit by topological direct sum and quotient space.

然後引入拓撲直和的概念，利用它和商空間給出一個歸納極限表示定理。

專業解析

在數學中，商空間（Quotient Space） 是一個通過等價關系将原空間“折疊”或“粘合”後得到的新空間。它是線性代數（向量空間）和拓撲學中的核心概念，旨在簡化結構或聚焦于特定性質。

1. 線性代數中的商空間（向量空間） 設 $V$ 是一個向量空間，$W$ 是其子空間。定義等價關系：$mathbf{v}_1 sim mathbf{v}_2$ 當且僅當 $mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2 in W$。

商空間 $V/W$ 定義為所有等價類構成的集合：

$$ V/W = { mathbf{v} + W mid mathbf{v} in V } $$

其中 $mathbf{v} + W = { mathbf{v} + mathbf{w} mid mathbf{w} in W }$ 是陪集（等價類）。$V/W$ 本身也是一個向量空間，其加法和數乘定義為：

$$ (mathbf{v}_1 + W) + (mathbf{v}_2 + W) = (mathbf{v}_1 + mathbf{v}_2) + W, quad k(mathbf{v} + W) = kmathbf{v} + W. $$

幾何意義：$V/W$ 可視為将 $W$ 壓縮為零點後的空間。例如，若 $V=mathbb{R}$（平面），$W$ 是 $x$ 軸，則 $V/W$ 的每個等價類是平行于 $x$ 軸的直線，商空間與 $y$ 軸同構（一維直線）。

2. 拓撲學中的商空間 設 $(X, tau)$ 是拓撲空間，$sim$ 是 $X$ 上的等價關系。

商空間 $X/!sim$ 定義為等價類集合 $X/!sim= { [x] mid x in X }$，并賦予商拓撲：$U subseteq X/!sim$ 是開集當且僅當 $pi^{-1}(U)$ 在 $X$ 中開，其中 $pi: X to X/!sim$ 是投影映射（$pi(x) = [x]$）。

核心思想：通過将等價類視為“點”，繼承原空間的拓撲結構。例如，将矩形對邊粘合可得到環面或莫比烏斯帶。

3. 通用定義與核心思想 商空間的本質是構造一個滿射 $q: X to Y$，使得 $Y$ 的元素是 $X$ 的等價類，且 $Y$ 的拓撲由 $X$ 通過 $q$ 誘導。其核心在于：

• 簡化結構：忽略子空間 $W$ 或等價關系的細節（如模掉對稱性）。
• 泛性質：任何與等價關系相容的映射 $f: X to Z$ 均可唯一分解為 $f = tilde{f} circ q$，其中 $q: X to X/!sim$ 為商映射。

應用示例

• 線性代數：若 $T: V to U$ 是線性映射，則 $text{ker}(T) = W$，且 $V/W cong text{im}(T)$（秩-零化度定理）。
• 拓撲學：将閉區間 $$ 端點粘合（$0 sim 1$）得到圓周 $S$。
• 機器學習：在流形學習中，商空間用于處理數據對稱性（如旋轉不變的圖像特征）。

權威參考來源

定義與性質可參考以下經典教材：

• 線性代數：Linear Algebra Done Right (Sheldon Axler), Springer.
• 拓撲學：Topology (James Munkres), Prentice Hall.
• 泛代數視角：Algebra: Chapter 0 (Paolo Aluffi), American Mathematical Society.

商空間通過抽象等價類，将複雜結構轉化為更簡潔的形式，是理解高維幾何、代數結構及數據約簡的重要工具。

網絡擴展資料

商空間（quotient space）是數學中拓撲學和線性代數領域的重要概念，在不同學科中有不同的定義和應用。以下是詳細的解釋：

---

一、拓撲學中的商空間

定義：給定一個拓撲空間 (X) 和一個等價關系 (sim)，商空間 (X/sim) 是将 (X) 中所有等價的點“粘合”後形成的新空間。其拓撲結構（商拓撲）定義為：子集在商空間中開放當且僅當它在原空間中的原像是開放的。

核心思想：通過等價關系簡化空間結構，将複雜空間轉化為更易研究的拓撲結構。

例子：

1. 圓周的構造：将區間 ([0,1]) 的端點 (0) 和 (1) 粘合（即定義等價關系 (0 sim 1)），得到的新空間同胚于圓 (S)。
2. 環面：将正方形的對邊按相同方向粘合，得到環面 (T)。
3. 實射影空間：将球面 (S^n) 的每對對徑點視為同一點，得到實射影空間 (mathbb{RP}^n)。

---

二、線性代數中的商空間

定義：若 (V) 是向量空間，(W) 是 (V) 的子空間，則商空間 (V/W) 是所有形如 (v + W = {v + w mid w in W}) 的陪集構成的集合。其運算滿足：

• 加法：((v_1 + W) + (v_2 + W) = (v_1 + v_2) + W)
• 标量乘法：(lambda(v + W) = lambda v + W)

核心思想：通過“忽略子空間 (W) 的方向”簡化向量空間結構。

性質：

• (dim(V/W) = dim V - dim W)（若 (V) 有限維）。
• 第一同構定理：線性映射 (T: V to U) 的核為 (W) 時，有 (V/W cong text{Im}(T))。

例子：

• 若 (V = mathbb{R})，(W) 是 (xy)-平面，則 (V/W) 中的每個元素對應一條垂直于 (xy)-平面的直線，維度為 (1)。
• 在多項式空間中，商空間 (Pn(mathbb{R})/P{n-1}(mathbb{R})) 可表示最高次項的次數為 (n) 的多項式類。

---

三、應用場景

1. 拓撲學：用于構造流形、研究空間分類（如緊化、連通分支）。
2. 泛函分析：定義局部凸空間的商空間以研究線性算子。
3. 抽象代數：通過商群、商環等推廣商空間思想。
4. 幾何建模：在計算機圖形學中簡化複雜曲面。

---

四、直觀理解

• 拓撲角度：想象将空間按規則“折疊”或“粘合”，形成新的形狀（如将紙條兩端粘合得到圓柱或莫比烏斯環）。
• 代數角度：将向量空間中的冗餘部分（子空間 (W)）壓縮為“零”，保留剩餘的自由度。

若需進一步了解具體定理或證明細節，可參考拓撲學或線性代數教材的相關章節。

别人正在浏覽的英文單詞...

【别人正在浏覽】