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[数] 商空间

例句

Quotient space;

商空间；

Next discuss how to build a model of the quotient space from the structure.

讨论如何从结构着手来建立商空间模型。

The theory of the quotient space is a new mathematical tool for the study of the different granularity world.

商空间理论是研究不同粒度世界的一种新的数学工具。

Quotient space theory for treatment of high-dimensional, incomplete, complex, vague, massive data, there are unique advantages.

商空间理论在处理高维、不完备、复杂的、模糊的、海量数据时，有其独特的优势。

We introduce the notion of topological direct sum, and get a representative theorem of inductive limit by topological direct sum and quotient space.

然后引入拓扑直和的概念，利用它和商空间给出一个归纳极限表示定理。

专业解析

在数学中，商空间（Quotient Space） 是一个通过等价关系将原空间“折叠”或“粘合”后得到的新空间。它是线性代数（向量空间）和拓扑学中的核心概念，旨在简化结构或聚焦于特定性质。

1. 线性代数中的商空间（向量空间） 设 $V$ 是一个向量空间，$W$ 是其子空间。定义等价关系：$mathbf{v}_1 sim mathbf{v}_2$ 当且仅当 $mathbf{v}_1 - mathbf{v}_2 in W$。

商空间 $V/W$ 定义为所有等价类构成的集合：

$$ V/W = { mathbf{v} + W mid mathbf{v} in V } $$

其中 $mathbf{v} + W = { mathbf{v} + mathbf{w} mid mathbf{w} in W }$ 是陪集（等价类）。$V/W$ 本身也是一个向量空间，其加法和数乘定义为：

$$ (mathbf{v}_1 + W) + (mathbf{v}_2 + W) = (mathbf{v}_1 + mathbf{v}_2) + W, quad k(mathbf{v} + W) = kmathbf{v} + W. $$

几何意义：$V/W$ 可视为将 $W$ 压缩为零点后的空间。例如，若 $V=mathbb{R}$（平面），$W$ 是 $x$ 轴，则 $V/W$ 的每个等价类是平行于 $x$ 轴的直线，商空间与 $y$ 轴同构（一维直线）。

2. 拓扑学中的商空间 设 $(X, tau)$ 是拓扑空间，$sim$ 是 $X$ 上的等价关系。

商空间 $X/!sim$ 定义为等价类集合 $X/!sim= { [x] mid x in X }$，并赋予商拓扑：$U subseteq X/!sim$ 是开集当且仅当 $pi^{-1}(U)$ 在 $X$ 中开，其中 $pi: X to X/!sim$ 是投影映射（$pi(x) = [x]$）。

核心思想：通过将等价类视为“点”，继承原空间的拓扑结构。例如，将矩形对边粘合可得到环面或莫比乌斯带。

3. 通用定义与核心思想 商空间的本质是构造一个满射 $q: X to Y$，使得 $Y$ 的元素是 $X$ 的等价类，且 $Y$ 的拓扑由 $X$ 通过 $q$ 诱导。其核心在于：

• 简化结构：忽略子空间 $W$ 或等价关系的细节（如模掉对称性）。
• 泛性质：任何与等价关系相容的映射 $f: X to Z$ 均可唯一分解为 $f = tilde{f} circ q$，其中 $q: X to X/!sim$ 为商映射。

应用示例

• 线性代数：若 $T: V to U$ 是线性映射，则 $text{ker}(T) = W$，且 $V/W cong text{im}(T)$（秩-零化度定理）。
• 拓扑学：将闭区间 $$ 端点粘合（$0 sim 1$）得到圆周 $S$。
• 机器学习：在流形学习中，商空间用于处理数据对称性（如旋转不变的图像特征）。

权威参考来源

定义与性质可参考以下经典教材：

• 线性代数：Linear Algebra Done Right (Sheldon Axler), Springer.
• 拓扑学：Topology (James Munkres), Prentice Hall.
• 泛代数视角：Algebra: Chapter 0 (Paolo Aluffi), American Mathematical Society.

商空间通过抽象等价类，将复杂结构转化为更简洁的形式，是理解高维几何、代数结构及数据约简的重要工具。

网络扩展资料

商空间（quotient space）是数学中拓扑学和线性代数领域的重要概念，在不同学科中有不同的定义和应用。以下是详细的解释：

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一、拓扑学中的商空间

定义：给定一个拓扑空间 (X) 和一个等价关系 (sim)，商空间 (X/sim) 是将 (X) 中所有等价的点“粘合”后形成的新空间。其拓扑结构（商拓扑）定义为：子集在商空间中开放当且仅当它在原空间中的原像是开放的。

核心思想：通过等价关系简化空间结构，将复杂空间转化为更易研究的拓扑结构。

例子：

1. 圆周的构造：将区间 ([0,1]) 的端点 (0) 和 (1) 粘合（即定义等价关系 (0 sim 1)），得到的新空间同胚于圆 (S)。
2. 环面：将正方形的对边按相同方向粘合，得到环面 (T)。
3. 实射影空间：将球面 (S^n) 的每对对径点视为同一点，得到实射影空间 (mathbb{RP}^n)。

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二、线性代数中的商空间

定义：若 (V) 是向量空间，(W) 是 (V) 的子空间，则商空间 (V/W) 是所有形如 (v + W = {v + w mid w in W}) 的陪集构成的集合。其运算满足：

• 加法：((v_1 + W) + (v_2 + W) = (v_1 + v_2) + W)
• 标量乘法：(lambda(v + W) = lambda v + W)

核心思想：通过“忽略子空间 (W) 的方向”简化向量空间结构。

性质：

• (dim(V/W) = dim V - dim W)（若 (V) 有限维）。
• 第一同构定理：线性映射 (T: V to U) 的核为 (W) 时，有 (V/W cong text{Im}(T))。

例子：

• 若 (V = mathbb{R})，(W) 是 (xy)-平面，则 (V/W) 中的每个元素对应一条垂直于 (xy)-平面的直线，维度为 (1)。
• 在多项式空间中，商空间 (Pn(mathbb{R})/P{n-1}(mathbb{R})) 可表示最高次项的次数为 (n) 的多项式类。

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三、应用场景

1. 拓扑学：用于构造流形、研究空间分类（如紧化、连通分支）。
2. 泛函分析：定义局部凸空间的商空间以研究线性算子。
3. 抽象代数：通过商群、商环等推广商空间思想。
4. 几何建模：在计算机图形学中简化复杂曲面。

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四、直观理解

• 拓扑角度：想象将空间按规则“折叠”或“粘合”，形成新的形状（如将纸条两端粘合得到圆柱或莫比乌斯环）。
• 代数角度：将向量空间中的冗余部分（子空间 (W)）压缩为“零”，保留剩余的自由度。

若需进一步了解具体定理或证明细节，可参考拓扑学或线性代数教材的相关章节。

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