partial differential是什麼意思，partial differential的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

"偏微分"（partial differential）是數學分析中用于描述多元函數局部變化率的核心概念。它表示在多元函數中對某一特定變量求導數，而将其他變量視為常量的運算過程。

從數學定義來看，若存在二元函數$z = f(x,y)$，其關于變量$x$的偏導數可表示為： $$ frac{partial z}{partial x} = lim_{h to 0} frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} $$ 這種運算揭示了當保持$y$不變時，函數值隨$x$變化的瞬時速率。該定義可推廣到任意多元函數情形（參考《數學分析原理》Walter Rudin著，第215頁）。

在工程領域，偏微分方程作為描述物理現象的重要工具，廣泛應用于：

1. 電磁場分析（麥克斯韋方程組）
2. 熱傳導過程（傅裡葉定律）
3. 流體動力學（納維-斯托克斯方程）
4. 量子力學（薛定谔方程） （來源：MIT開放課程《偏微分方程導論》）

以熱傳導方程$frac{partial u}{partial t} = alpha abla u$為例，該偏微分方程成功描述了溫度場隨時間擴散的規律，其中$alpha$為材料的熱擴散系數（引自Springer《工程數學手冊》第3版）。

網絡擴展資料

“partial differential”是數學中的一個術語，指偏微分，主要用于描述涉及多個自變量的函數在某一變量上的微分變化。以下是詳細解釋：

1.核心定義

• 偏微分關注的是多元函數（如 ( f(x, y, z) )）在某一特定自變量上的變化率，而将其他自變量視為常數。
• 例如，函數 ( f(x, y) = x + xy ) 對 ( x ) 的偏微分（記作 ( frac{partial f}{partial x} )）為 ( 2x + y )，此時 ( y ) 被當作常數處理。

2.符號表示

• 偏微分符號為“∂”（讀作“partial”或“round”），例如：
  • 一階偏導數：$$ frac{partial f}{partial x} $$
  • 二階偏導數：$$ frac{partial f}{partial x} $$

3.與全微分的區别

• 全微分（Total Differential）考慮所有自變量的微小變化，公式為： $$ df = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz $$
• 偏微分僅針對單個變量，忽略其他變量的影響。

4.應用場景

偏微分是研究偏微分方程（PDE）的基礎，常見于物理學和工程學，例如：

• 熱傳導方程：$$ frac{partial u}{partial t} = alpha left( frac{partial u}{partial x} + frac{partial u}{partial y} right) $$
• 流體力學中的納維-斯托克斯方程。

5.計算示例

以函數 ( f(x, y) = 3x y + sin(y) ) 為例：

• 對 ( x ) 的偏微分：$$ frac{partial f}{partial x} = 6xy $$
• 對 ( y ) 的偏微分：$$ frac{partial f}{partial y} = 3x + cos(y) $$

總結來說，“partial differential”是多元函數微積分中的關鍵工具，用于分析多變量系統中單個變量的獨立影響。

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