[數] 偏導數；[數] 偏微商
And that is an approximation for partial derivative.
這就是偏導的近似值。
OK, so that's the definition of a partial derivative.
好的，那就是偏導數的定義。
So, at that point, the partial derivative is zero with respect to x.
因此這點上x的偏導為零。
We will replace the partial derivative by an ordinary derivative.
我們可用普通微商代替偏微商。
Well, we have seen that it is given by the partial derivative f sub x.
我們已經發現,它由f對x的偏導數給出。
偏導數是多元函數微分學中的核心概念，用于描述多變量函數在某一自變量方向上的變化率。當一個函數$f(x_1,x_2,...,x_n)$包含多個獨立變量時，對第$i$個變量$x_i$求偏導數時，需要保持其他變量恒定，其數學定義為：
$$ frac{partial f}{partial xi} = lim{h to 0} frac{f(x_1,...,x_i+h,...,x_n) - f(x_1,...,x_i,...,x_n)}{h} $$
例如在工程領域，電路中的功率$P=IV$對電壓$V$的偏導數$frac{partial P}{partial V}=I$，反映了電壓變化時功率的瞬時變化率。在熱力學中，溫度場$T(x,y,z,t)$對時間的偏導數$frac{partial T}{partial t}$可描述非穩态傳熱過程。
該概念最早由法國數學家達朗貝爾在18世紀提出，後經柯西等學者完善，成為現代偏微分方程理論的基礎工具。麻省理工學院的《多變量微積分》公開課指出，偏導數在機器學習梯度下降算法中具有關鍵應用，通過計算損失函數對各參數的偏導來優化神經網絡。
根據劍橋大學數學手冊，偏導數的幾何意義對應多維空間中的切線斜率，其計算需要遵循鍊式法則、隱函數定理等運算規則。在實際應用中，工程師常借助Matlab、Python的SymPy等工具進行符號運算，确保計算精度。
在數學中，partial derivative（偏導數）是用于描述多元函數在某一方向上的變化率的概念。當函數含有多個自變量時，偏導數表示固定其他變量，僅對其中一個自變量求導的結果。以下是詳細解釋：
對于多元函數 ( f(x_1, x_2, dots, x_n) )，其關于第 ( i ) 個自變量 ( x_i ) 的偏導數寫作： $$ frac{partial f}{partial x_i} $$ 它表示在保持其他變量不變的情況下，函數 ( f ) 沿 ( x_i ) 方向的變化率。
計算偏導數時，将其他變量視為常數，僅對目标變量求導。例如：
在三維空間中，偏導數 ( frac{partial f}{partial x} ) 對應函數圖像在 ( x ) 方向的切線斜率，類似單變量導數，但僅關注某一方向的局部變化。
偏導數廣泛用于：
如果需要具體實例或擴展應用，可以進一步探讨！
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