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常用詞典

[數] 零空間

例句

First, by redefining the within class scatter matrix and the between class scatter matrix, a new null space method was presented.

首先，通過重新定義樣本的類内散布矩陣和類間散布矩陣，提出了一種新的零空間法。

The system was converted to the block controllable form consisting of two parts, one was the range space subsystem and the other was the stable null space subsystem.

通過狀态變換和去耦合處理将系統轉換為塊能控标準型，它由值域空間子系統和穩定的零空間子系統組成。

It transforms the double-differential carrier observation equation using null space transformation so that it need not to resolve real-time three-dimensional position parameters.

對單個曆元的雙差載波相位觀測方程進行零空間變換，避免了實時變化的三維位置參數求解；

The optimal feature vectors are extracted from the null space of intrapersonal locality preserving difference scatter matrix, which avoids the singularity and the SSS problem is solved.

通過在個體類内保局差異散度矩陣的零空間中求最優特征向量，避免了矩陣的奇異性問題，解決了小樣本問題。

This can lead into additional space savings, if the table contains many NULL values.

如果表中包含很多null值，這樣可以節省更多的空間。

專業解析

在數學（特别是線性代數）和工程領域，零空間（Null Space） 是一個核心概念，具有明确的定義和重要的應用價值。以下是其詳細解釋：

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一、嚴格定義

設 ( A ) 是一個 ( m times n ) 實矩陣（或複矩陣），其零空間定義為所有滿足齊次線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{0} ) 的解向量 (mathbf{x}) 構成的集合。用符號表示為： [ operatorname{Nul}(A) = { mathbf{x} in mathbb{R}^n mid Amathbf{x} = mathbf{0} } ] 其中 (mathbf{0}) 是 ( m ) 維零向量。零空間是 (mathbb{R}^n) 的一個子空間。

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二、幾何意義

零空間描述了矩陣 ( A ) 的“壓縮”特性：

• 核（Kernel）：在映射 (mathbf{x} mapsto Amathbf{x}) 下，零空間是映射到零向量的所有輸入向量的集合。
• 解空間：對線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{b} )，當 (mathbf{b} = mathbf{0}) 時，零空間即為所有解構成的子空間。
• 維度關系：根據秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），有： [ dim(operatorname{Nul}(A)) + operatorname{rank}(A) = n ] 其中 (operatorname{rank}(A)) 是矩陣的秩，(n) 為列數。

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三、關鍵性質

1. 子空間封閉性：零空間對向量加法和數乘封閉（線性子空間）。
2. 與列空間的關系：零空間與列空間（(operatorname{Col}(A))）正交（在實數域），即 (operatorname{Nul}(A) perp operatorname{Col}(A^T))。
3. 非平凡性：當 ( A ) 列線性相關時，零空間維度大于零（存在非零解）。

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四、實際應用

1. 線性方程組求解：非齊次方程 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 的通解可表示為特解與零空間中向量的線性組合。
2. 控制理論與信號處理：用于分析系統穩定性（如狀态空間模型中零空間對應不可控/不可觀測模态）。
3. 計算機圖形學：在投影變換中，零空間對應被“壓縮”的維度（如透視投影的消失點）。

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五、示例

考慮矩陣 ( A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 6 end{bmatrix} )，解 ( Amathbf{x} = mathbf{0} )： [ begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0 3x_1 + 6x_2 = 0 end{cases} ] 解得 ( x_1 = -2x_2 )，零空間為 (operatorname{span}left{ begin{bmatrix} -21 end{bmatrix} right})。

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權威參考來源

1. MIT OpenCourseWare：線性代數課程對零空間的幾何與代數解釋（鍊接）。
2. Khan Academy：零空間的直觀教學與交互示例（鍊接）。
3. Wolfram MathWorld：數學定義的嚴謹表述（鍊接）。

網絡擴展資料

"Null space"（零空間）是線性代數中的核心概念，指一個矩陣所對應的齊次線性方程組的所有解構成的向量空間。以下是詳細解釋：

1.定義

對于任意 ( m times n ) 矩陣 ( A )，其零空間定義為所有滿足方程 ( Amathbf{x} = mathbf{0} ) 的向量 ( mathbf{x} ) 的集合，即： $$ text{Null}(A) = { mathbf{x} in mathbb{R}^n mid Amathbf{x} = mathbf{0} } $$ 其中，( mathbf{0} ) 是零向量。

2.性質

• 向量空間：零空間是 ( mathbb{R}^n ) 的子空間，滿足向量加法和标量乘法的封閉性。
• 維度：零空間的維度稱為矩陣的零度（nullity），滿足秩-零化度定理： $$ text{rank}(A) + text{nullity}(A) = n $$
• 唯一解條件：當且僅當零空間僅包含零向量時，矩陣 ( A ) 的列向量線性無關，此時 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 至多有一個解。

3.幾何意義

零空間中的每個向量對應矩陣 ( A ) 的線性變換後“坍縮”到原點的方向。例如，若 ( A ) 是投影矩陣，零空間即為被投影“壓平”的方向。

4.示例

考慮矩陣： $$ A = begin{bmatrix} 1 & 2 3 & 6 end{bmatrix} $$ 解方程 ( Amathbf{x} = mathbf{0} )，即： $$ x_1 + 2x_2 = 0 3x_1 + 6x_2 = 0 $$ 解得零空間為所有形如 ( mathbf{x} = t begin{bmatrix} -21 end{bmatrix} ) 的向量（( t in mathbb{R} )），即一條一維直線。

5.應用

• 線性方程組：非齊次方程 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 的通解可表示為特解與零空間向量的和。
• 可逆性判斷：若零空間僅含零向量，則 ( A ) 列滿秩，其對應的線性變換是單射。

其他領域中的含義

在計算機科學中，"null" 可能指空指針或空值，但“null space”通常不用于此語境。若需特定領域（如物理、工程）的解釋，建議補充上下文。

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