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[数] 零空间

例句

First, by redefining the within class scatter matrix and the between class scatter matrix, a new null space method was presented.

首先，通过重新定义样本的类内散布矩阵和类间散布矩阵，提出了一种新的零空间法。

The system was converted to the block controllable form consisting of two parts, one was the range space subsystem and the other was the stable null space subsystem.

通过状态变换和去耦合处理将系统转换为块能控标准型，它由值域空间子系统和稳定的零空间子系统组成。

It transforms the double-differential carrier observation equation using null space transformation so that it need not to resolve real-time three-dimensional position parameters.

对单个历元的双差载波相位观测方程进行零空间变换，避免了实时变化的三维位置参数求解；

The optimal feature vectors are extracted from the null space of intrapersonal locality preserving difference scatter matrix, which avoids the singularity and the SSS problem is solved.

通过在个体类内保局差异散度矩阵的零空间中求最优特征向量，避免了矩阵的奇异性问题，解决了小样本问题。

This can lead into additional space savings, if the table contains many NULL values.

如果表中包含很多null值，这样可以节省更多的空间。

专业解析

在数学（特别是线性代数）和工程领域，零空间（Null Space） 是一个核心概念，具有明确的定义和重要的应用价值。以下是其详细解释：

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一、严格定义

设 ( A ) 是一个 ( m times n ) 实矩阵（或复矩阵），其零空间定义为所有满足齐次线性方程组 ( Amathbf{x} = mathbf{0} ) 的解向量 (mathbf{x}) 构成的集合。用符号表示为： [ operatorname{Nul}(A) = { mathbf{x} in mathbb{R}^n mid Amathbf{x} = mathbf{0} } ] 其中 (mathbf{0}) 是 ( m ) 维零向量。零空间是 (mathbb{R}^n) 的一个子空间。

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二、几何意义

零空间描述了矩阵 ( A ) 的“压缩”特性：

• 核（Kernel）：在映射 (mathbf{x} mapsto Amathbf{x}) 下，零空间是映射到零向量的所有输入向量的集合。
• 解空间：对线性方程组 ( Amathbf{x} = mathbf{b} )，当 (mathbf{b} = mathbf{0}) 时，零空间即为所有解构成的子空间。
• 维度关系：根据秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），有： [ dim(operatorname{Nul}(A)) + operatorname{rank}(A) = n ] 其中 (operatorname{rank}(A)) 是矩阵的秩，(n) 为列数。

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三、关键性质

1. 子空间封闭性：零空间对向量加法和数乘封闭（线性子空间）。
2. 与列空间的关系：零空间与列空间（(operatorname{Col}(A))）正交（在实数域），即 (operatorname{Nul}(A) perp operatorname{Col}(A^T))。
3. 非平凡性：当 ( A ) 列线性相关时，零空间维度大于零（存在非零解）。

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四、实际应用

1. 线性方程组求解：非齐次方程 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 的通解可表示为特解与零空间中向量的线性组合。
2. 控制理论与信号处理：用于分析系统稳定性（如状态空间模型中零空间对应不可控/不可观测模态）。
3. 计算机图形学：在投影变换中，零空间对应被“压缩”的维度（如透视投影的消失点）。

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五、示例

考虑矩阵 ( A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 6 end{bmatrix} )，解 ( Amathbf{x} = mathbf{0} )： [ begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0 3x_1 + 6x_2 = 0 end{cases} ] 解得 ( x_1 = -2x_2 )，零空间为 (operatorname{span}left{ begin{bmatrix} -21 end{bmatrix} right})。

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权威参考来源

1. MIT OpenCourseWare：线性代数课程对零空间的几何与代数解释（链接）。
2. Khan Academy：零空间的直观教学与交互示例（链接）。
3. Wolfram MathWorld：数学定义的严谨表述（链接）。

网络扩展资料

"Null space"（零空间）是线性代数中的核心概念，指一个矩阵所对应的齐次线性方程组的所有解构成的向量空间。以下是详细解释：

1.定义

对于任意 ( m times n ) 矩阵 ( A )，其零空间定义为所有满足方程 ( Amathbf{x} = mathbf{0} ) 的向量 ( mathbf{x} ) 的集合，即： $$ text{Null}(A) = { mathbf{x} in mathbb{R}^n mid Amathbf{x} = mathbf{0} } $$ 其中，( mathbf{0} ) 是零向量。

2.性质

• 向量空间：零空间是 ( mathbb{R}^n ) 的子空间，满足向量加法和标量乘法的封闭性。
• 维度：零空间的维度称为矩阵的零度（nullity），满足秩-零化度定理： $$ text{rank}(A) + text{nullity}(A) = n $$
• 唯一解条件：当且仅当零空间仅包含零向量时，矩阵 ( A ) 的列向量线性无关，此时 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 至多有一个解。

3.几何意义

零空间中的每个向量对应矩阵 ( A ) 的线性变换后“坍缩”到原点的方向。例如，若 ( A ) 是投影矩阵，零空间即为被投影“压平”的方向。

4.示例

考虑矩阵： $$ A = begin{bmatrix} 1 & 2 3 & 6 end{bmatrix} $$ 解方程 ( Amathbf{x} = mathbf{0} )，即： $$ x_1 + 2x_2 = 0 3x_1 + 6x_2 = 0 $$ 解得零空间为所有形如 ( mathbf{x} = t begin{bmatrix} -21 end{bmatrix} ) 的向量（( t in mathbb{R} )），即一条一维直线。

5.应用

• 线性方程组：非齐次方程 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 的通解可表示为特解与零空间向量的和。
• 可逆性判断：若零空间仅含零向量，则 ( A ) 列满秩，其对应的线性变换是单射。

其他领域中的含义

在计算机科学中，"null" 可能指空指针或空值，但“null space”通常不用于此语境。若需特定领域（如物理、工程）的解释，建议补充上下文。

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