metrization是什麼意思，metrization的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

"Metrization"是拓撲數學中的核心概念，指為拓撲空間賦予可度量結構的理論體系。其核心目标是尋找特定條件，使得抽象的拓撲空間能通過具體的度量函數（distance function）描述空間内點的鄰近關系。

一、定義與基礎理論

在拓撲學中，若存在度量$d: X times X to mathbb{R}$能生成給定拓撲空間$(X,tau)$的開集結構，則該空間稱為可度量化空間（metrizable space）。這一過程稱為度量化（metrization）。該理論始于20世紀初對歐氏空間推廣的研究，主要貢獻者包括Hausdorff、Urysohn等人。

二、經典度量化定理

1. Urysohn度量化定理（1925年）：提出正則性（regularity）與第二可數性（second countability）作為可度量化的充分條件。該定理奠定了現代一般拓撲學的基礎框架，被收錄于Springer數學百科全書的拓撲學分支。
2. Bing-Nagata-Smirnov定理（1950年代）：針對更廣泛的空間類型，提出σ-局部有限基（σ-locally finite base）的可度量化判據，标志着度量化理論在非緊空間領域的突破。

三、現代應用領域

度量化理論在函數分析、微分幾何與數據科學中具有重要價值。例如：

• 在機器學習中，通過構造特定度量實現高維數據的低維嵌入
• 廣義相對論通過度量化張量描述時空彎曲特性
• 美國數學學會将其列為21世紀拓撲學十大基礎理論工具之一

權威參考文獻：

1. MathWorld: Metrization Theorem
2. Springer Encyclopedia: Metrizable Spaces
3. AMS Mathematical Terminology

網絡擴展資料

"metrization"（度量化）是一個數學術語，主要指在拓撲學中為某個空間賦予度量的過程。具體來說：

1. 核心定義
   該詞源于"metric"（度量），指在拓撲空間中定義一個滿足以下三條公理的距離函數$d(x,y)$：

   • 非負性：$d(x,y) geq 0$，當且僅當$x=y$時等號成立
   • 對稱性：$d(x,y) = d(y,x)$
   • 三角不等式：$d(x,z) leq d(x,y) + d(y,z)$

2. 應用場景
   度量化定理（如Urysohn定理）研究拓撲空間可度量化的條件。例如，第二可數的正則空間必然可度量化，這一特性對研究流形、泛函分析等具有重要意義。

3. 相關概念
   與"metrizable space"（可度量化空間）密切相關，這類空間能将拓撲結構與度量空間性質統一，便于研究收斂性、連續性等分析特性。

需注意該術語在中文文獻中常直接音譯為"度量化"，其概念與物理學的"metric"（如時空度規）有本質區别，後者屬于廣義相對論範疇。

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