n. 梅森素數
In total, only 49 Mersenne primes are known.
目前總共隻有49個已知的梅森質數。
The Mersenne prime is an important research topic in number theory.
梅森素數分布研究是數學中的一大難題。
The Mersenne prime distribution is a very difficult topic in mathematics.
梅森素數分布研究是數學中的一大難題。
Mersenne primes are those that can be written in the form 2nis an integer.
梅森質數是那些可以以2n -1來表達的質數，其中的n為整數。
The chance that the exponent you are testing will yield a Mersenne prime is about 1 in 143369.
你正在測試的指數産生一個梅森素數的概率是1/143369。
梅森數（Mersenne Number）是形如$M_n=2^p-1$的正整數，其中指數$p$為素數。這一概念由17世紀法國數學家馬林·梅森（Marin Mersenne）首次系統研究而得名。梅森在1644年的著作《物理數學隨感》中提出：當$pleq257$時，僅當$p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257$時，$M_p$為素數。現代研究已修正其部分結論，例如$p=67$和$257$對應的數并非素數。
梅森素數在計算機科學和密碼學領域有重要應用。例如基于梅森素數設計的Mersenne Twister算法，因其長周期性和均勻分布特性，被廣泛用于蒙特卡洛模拟和機器學習領域。截至2023年，已知的梅森素數共51個，最大的是$M_{82589933}=2^{82589933}-1$，該數由互聯網梅森素數搜索計劃（GIMPS）通過分布式計算發現。
Mersenne（梅森）是一個與數論密切相關的數學概念，主要用于描述特定形式的數和素數。以下是其核心含義及相關擴展：
基本定義
Mersenne數指形如$M_p=2^p-1$的數，其中$p$為正整數。當該數同時為素數時，稱為梅森素數（Mersenne prime）。例如：
命名來源
該名稱源于17世紀法國數學家Marin Mersenne，他研究了此類數的性質。
與完美數的聯繫
梅森素數與完美數（即所有真因子之和等于自身的數）存在直接關系。若$M_p$是梅森素數，則$2^{p-1} cdot M_p$必定是偶完美數。例如：
研究意義
梅森素數因形式簡單且易于驗證，成為尋找大素數的重要方向。目前已知的最大素數多為梅森素數，例如2023年發現的第51個梅森素數$2^{82,589,933}-1$。研究者常通過計算機項目（如GIMPS）進行分布式計算來發現新素數。
擴展說明：并非所有$Mp$都是素數。例如$p=11$時，$M{11}=2047=23×89$為合數，因此需通過特殊算法驗證其素性。
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