n. 梅森素数
In total, only 49 Mersenne primes are known.
目前总共只有49个已知的梅森质数。
The Mersenne prime is an important research topic in number theory.
梅森素数分布研究是数学中的一大难题。
The Mersenne prime distribution is a very difficult topic in mathematics.
梅森素数分布研究是数学中的一大难题。
Mersenne primes are those that can be written in the form 2nis an integer.
梅森质数是那些可以以2n -1来表达的质数，其中的n为整数。
The chance that the exponent you are testing will yield a Mersenne prime is about 1 in 143369.
你正在测试的指数产生一个梅森素数的概率是1/143369。
梅森数（Mersenne Number）是形如$M_n=2^p-1$的正整数，其中指数$p$为素数。这一概念由17世纪法国数学家马林·梅森（Marin Mersenne）首次系统研究而得名。梅森在1644年的著作《物理数学随感》中提出：当$pleq257$时，仅当$p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257$时，$M_p$为素数。现代研究已修正其部分结论，例如$p=67$和$257$对应的数并非素数。
梅森素数在计算机科学和密码学领域有重要应用。例如基于梅森素数设计的Mersenne Twister算法，因其长周期性和均匀分布特性，被广泛用于蒙特卡洛模拟和机器学习领域。截至2023年，已知的梅森素数共51个，最大的是$M_{82589933}=2^{82589933}-1$，该数由互联网梅森素数搜索计划（GIMPS）通过分布式计算发现。
Mersenne（梅森）是一个与数论密切相关的数学概念，主要用于描述特定形式的数和素数。以下是其核心含义及相关扩展：
基本定义
Mersenne数指形如$M_p=2^p-1$的数，其中$p$为正整数。当该数同时为素数时，称为梅森素数（Mersenne prime）。例如：
命名来源
该名称源于17世纪法国数学家Marin Mersenne，他研究了此类数的性质。
与完美数的联系
梅森素数与完美数（即所有真因子之和等于自身的数）存在直接关系。若$M_p$是梅森素数，则$2^{p-1} cdot M_p$必定是偶完美数。例如：
研究意义
梅森素数因形式简单且易于验证，成为寻找大素数的重要方向。目前已知的最大素数多为梅森素数，例如2023年发现的第51个梅森素数$2^{82,589,933}-1$。研究者常通过计算机项目（如GIMPS）进行分布式计算来发现新素数。
扩展说明：并非所有$Mp$都是素数。例如$p=11$时，$M{11}=2047=23×89$为合数，因此需通过特殊算法验证其素性。
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