logarithm是什麼意思，logarithm的意思翻譯、用法、同義詞、例句

logarithm英标

英:/'ˈlɒɡərɪðəm/ 美:/'ˈlɔːɡərɪðəm/

詞性

複數:logarithms

常用詞典

例句

常用搭配

同義詞

專業解析

對數（logarithm） 是數學中一種重要的函數概念，它與指數運算互為逆運算。具體來說，如果以一個正實數 ( b )（稱為底數，且 ( b > 0 )，( b eq 1 )）為底，另一個正實數 ( a ) 的對數記作 ( log_b a )，它表示滿足等式 ( b^c = a ) 的指數 ( c )。用公式表達即為：

$$ log_b a = c quad Leftrightarrow quad b^c = a $$

對數的核心意義與應用價值體現在以下幾個方面：

1. 簡化複雜運算：對數最顯著的曆史作用是将乘除運算轉化為加減運算，将乘方、開方運算轉化為乘除運算。例如：

   • ( log_b (xy) = log_b x + log_b y ) （積的對數等于對數的和）
   • ( log_b left(frac{x}{y}right) = log_b x - log_b y ) （商的對數等于對數的差）
   • ( log_b (x^k) = k log_b x ) （幂的對數等于指數乘以對數） 在計算機和計算機發明之前，這一特性使得科學家和工程師能夠利用對數表（如常用對數表、自然對數表）快速完成繁複的天文、航海和工程計算。

2. 衡量數量級與指數增長/衰減：對數能夠壓縮大範圍的數據尺度，使其更易于可視化和比較。例如：

   • 裡氏地震震級（Richter scale）是對數尺度，震級每增加1級，地震釋放的能量約增加31.6倍（( 10^{1.5} )倍）。
   • 聲音的分貝（dB）也是對數單位，分貝值增加10分貝，聲音強度（能量）增加10倍。
   • 在生物學中，pH值（( text{pH} = -log_{10} [text{H}^+] )）用對數表示氫離子濃度。
   • 指數增長（如人口增長、放射性衰變）在半對數坐标圖上會呈現為直線，便于分析。

3. 解決指數方程：對數是指數方程求解的關鍵工具。對于形如 ( b^x = a ) 的方程，其解可直接表示為 ( x = log_b a )。這在金融（複利計算）、物理（衰變定律）、化學（反應速率）等領域應用廣泛。

4. 常用對數與自然對數：

   • 常用對數（Common Logarithm）：以10為底的對數，記作 ( log_{10} x ) 或簡寫為 ( log x )（在某些領域，尤其在工程和常用對數表中）。它在涉及十進制計數和數量級的計算中非常方便。
   • 自然對數（Natural Logarithm）：以數學常數 ( e )（約等于2.71828）為底的對數，記作 ( ln x )。它在數學分析、微積分、物理和許多自然科學領域中具有核心地位，因為其導數具有最簡單的形式 ( frac{d}{dx} ln x = frac{1}{x} )，并且與指數函數 ( e^x ) 構成完美的互逆關系。

5. 信息理論與計算機科學：對數用于度量信息量（比特，基于以2為底的對數）、計算算法複雜度（如大O表示法中的對數複雜度 ( O(log n) )），以及在數據壓縮和編碼理論中扮演重要角色。

曆史背景與人物貢獻： 對數的概念由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾（John Napier）在1614年發表的著作《奇妙的對數定律說明書》（Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio）中首次系統闡述并公開發明。納皮爾的對數主要基于幾何級數與算術級數的對應關系。稍晚些時候，英國數學家亨利·布裡格斯（Henry Briggs）與納皮爾合作，發展并推廣了以10為底的常用對數（布裡格斯對數），編制了更為實用的常用對數表，極大地促進了科學計算的發展。納皮爾和布裡格斯的發明被公認為極大地推動了天文學、物理學和工程學的進步。

參考來源：

• 對數的基本定義和性質屬于數學通識，核心内容可參考權威數學教材或百科全書，如《不列颠百科全書》（Encyclopædia Britannica）的“Logarithm”條目（https://www.britannica.com/science/logarithm）。
• 關于對數曆史，特别是納皮爾和布裡格斯的貢獻，可參考數學史相關著作或可靠的曆史記錄，例如麥克圖特數學史檔案（MacTutor History of Mathematics archive）的納皮爾傳記（https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Napier/）和布裡格斯傳記（https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Briggs/）。

網絡擴展資料

“Logarithm”（對數）是數學中用于描述指數關系逆運算的核心概念，其定義和性質如下：

定義

• 對數是指數的逆運算。若滿足方程 ( b^y = x )，則稱 ( y ) 是以 ( b ) 為底的 ( x ) 的對數，記作 ( y = log_b x )。其中：
  • ( b ) 是底數（base），需滿足 ( b > 0 ) 且 ( b eq 1 )；
  • ( x ) 是真數（argument），必須為正實數；
  • ( y ) 是對數值，表示 ( b ) 需要自乘的次數以得到 ( x )。

常見類型

1. 常用對數（Common Logarithm）：以 10 為底，記作 ( log x )，廣泛用于工程和科學計數。
2. 自然對數（Natural Logarithm）：以自然常數 ( e )（約 2.718）為底，記作 ( ln x )，在微積分和複雜數學模型中更常見。

核心性質

1. 簡化運算：将對數用于乘除運算可轉換為加減：

   • 乘法法則：( log_b (xy) = log_b x + log_b y )
   • 除法法則：( log_b left(frac{x}{y}right) = log_b x - log_b y )
   • 幂法則：( log_b (x^k) = k log_b x )

2. 換底公式：允許不同底數對數的轉換： [ log_b x = frac{log_k x}{log_k b} ]

應用領域

• 科學計算：如測量地震強度（裡氏震級）、聲音分貝值、化學 pH 值等均使用對數标度。
• 數據壓縮：信息論中的熵計算依賴對數。
• 複利與增長模型：對數可描述指數增長或衰減（如人口增長、放射性衰變）。

示例

• ( log_2 8 = 3 )（因為 ( 2 = 8 )）
• ( ln e = 5 )（自然對數中底數 ( e ) 隱含）

對數通過簡化複雜運算和描述非線性關系，成為數學、物理、工程等領域的基石工具。

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