[數] 線性無關的；線性獨立的
The article sums up eight methods to judge the linearly dependent and the linearly independent of vectors.
文章總結出了判斷向量線性相關和線性無關的八種方法。
And for its arbitrary two linearly independent solutions , at least one is of infinite exponent of convergence of zeros.
并且上方程的任二線性無關解至少有一零點收斂指數為無窮。
The article constructed and proved the one sufficient condition of linearly independent vector group, also a new, ******, practical method to find maximum...
構造并證明了線性無關向量組的一個充分條件，給出了求極大無關組的一個簡單可行的新方法。
In some condition, if column vectors in a complete incidence matrix are not linearly independent, these sides which are denoted by the column vectors formed a circuit.
在一定條件下簡單有向圖的完全關聯矩陣中列向量線性相關時，它們對應的邊構成回路。
Using a coordinate transformation matrix, which is formed by these linearly independent mode set, the component equations of motion in generalized coordinates are derived.
應用這組線性無關的模态集構成坐标變換矩陣，推導出廣義坐标下的部件動力學方程。
在數學和工程領域中，"linearly independent"（線性無關）是線性代數中的核心概念，用于描述向量集合的基本特性。一組向量被稱為線性無關，當且僅當其中任意一個向量都不能表示為其他向量的線性組合。具體來說，若向量組${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$滿足方程： $$ c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} $$ 的唯一解是标量$c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0$，則這組向量線性無關。例如，在二維空間中，兩個不共線的向量$mathbf{i}=(1,0)$和$mathbf{j}=(0,1)$是線性無關的，因為無法通過縮放或疊加其中一個向量得到另一個。
這一概念在電路分析（用于基爾霍夫定律的獨立方程驗證、控制系統（狀态空間模型的能控性分析和信號處理（正交基函數的選擇等領域具有重要應用。根據MIT線性代數公開課講義，線性無關性是構建向量空間基底的必要條件，基底中的向量必須滿足線性無關且能張成整個空間。
參考來源：
線性無關（linearly independent）是線性代數中的核心概念，用于描述一組向量之間的關系。其定義和示例如下：
定義
一組向量${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$被稱為線性無關，當且僅當滿足以下條件：
唯一能使線性組合
$$$ c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} $$$
成立的标量系數$c_1, c_2, ..., c_n$是全零解（即$c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0$）。若存在不全為零的系數使等式成立，則向量組線性相關。
關鍵點解釋
幾何意義
判定方法
與基底的關系
基底（basis）是向量空間中的極大線性無關組，既能生成整個空間，又不存在冗餘向量。例如，$mathbf{e}_1 = (1,0)$和$mathbf{e}_2 = (0,1)$是二維空間的标準正交基。
示例
應用場景
理解線性無關有助于掌握向量空間的結構、矩陣的性質以及優化問題的分析。
fashionablebe weak inconstruedisgruntleanarchismcompositaedarlingsdefiedfloristicMoorenonprobabilityripeningRobertadatabase schemagas emissionmanufacture basesresearch associatewake up callwaste liquoracheneAgathablepharocolobomabrothelcrittergastrorrhaphyhypoleukocytosisimprovisatorykinglinesslampholdermillicoulomb