[数] 线性无关的；线性独立的
The article sums up eight methods to judge the linearly dependent and the linearly independent of vectors.
文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的八种方法。
And for its arbitrary two linearly independent solutions , at least one is of infinite exponent of convergence of zeros.
并且上方程的任二线性无关解至少有一零点收敛指数为无穷。
The article constructed and proved the one sufficient condition of linearly independent vector group, also a new, ******, practical method to find maximum...
构造并证明了线性无关向量组的一个充分条件，给出了求极大无关组的一个简单可行的新方法。
In some condition, if column vectors in a complete incidence matrix are not linearly independent, these sides which are denoted by the column vectors formed a circuit.
在一定条件下简单有向图的完全关联矩阵中列向量线性相关时，它们对应的边构成回路。
Using a coordinate transformation matrix, which is formed by these linearly independent mode set, the component equations of motion in generalized coordinates are derived.
应用这组线性无关的模态集构成坐标变换矩阵，推导出广义坐标下的部件动力学方程。
在数学和工程领域中，"linearly independent"（线性无关）是线性代数中的核心概念，用于描述向量集合的基本特性。一组向量被称为线性无关，当且仅当其中任意一个向量都不能表示为其他向量的线性组合。具体来说，若向量组${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$满足方程： $$ c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} $$ 的唯一解是标量$c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0$，则这组向量线性无关。例如，在二维空间中，两个不共线的向量$mathbf{i}=(1,0)$和$mathbf{j}=(0,1)$是线性无关的，因为无法通过缩放或叠加其中一个向量得到另一个。
这一概念在电路分析（用于基尔霍夫定律的独立方程验证、控制系统（状态空间模型的能控性分析和信号处理（正交基函数的选择等领域具有重要应用。根据MIT线性代数公开课讲义，线性无关性是构建向量空间基底的必要条件，基底中的向量必须满足线性无关且能张成整个空间。
参考来源：
线性无关（linearly independent）是线性代数中的核心概念，用于描述一组向量之间的关系。其定义和示例如下：
定义
一组向量${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$被称为线性无关，当且仅当满足以下条件：
唯一能使线性组合
$$$ c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + cdots + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} $$$
成立的标量系数$c_1, c_2, ..., c_n$是全零解（即$c_1 = c_2 = cdots = c_n = 0$）。若存在不全为零的系数使等式成立，则向量组线性相关。
关键点解释
几何意义
判定方法
与基底的关系
基底（basis）是向量空间中的极大线性无关组，既能生成整个空间，又不存在冗余向量。例如，$mathbf{e}_1 = (1,0)$和$mathbf{e}_2 = (0,1)$是二维空间的标准正交基。
示例
应用场景
理解线性无关有助于掌握向量空间的结构、矩阵的性质以及优化问题的分析。
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