linear interpolation是什麼意思，linear interpolation的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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線性插值（Linear Interpolation）是一種基礎的數學方法，用于在已知的兩個離散數據點之間估算未知點的值。其核心思想是假設這兩個點之間的變化是線性的，即沿着一條直線均勻變化。以下是詳細解釋：

1. 基本概念

   假設有兩個已知點 ((x_0, y_0)) 和 ((x_1, y_1))，其中 (x_0) 和 (x_1) 是自變量（如時間、位置），(y_0) 和 (y_1) 是因變量（如溫度、電壓）。若要在 (x_0) 和 (x_1) 之間的某個位置 (x)（滿足 (x_0 leq x leq x_1)) 估算對應的 (y) 值，線性插值通過連接這兩個已知點的直線來确定 (y)。

2. 數學公式

   線性插值的計算公式為： $$ y = y_0 + frac{(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)} (x - x_0) $$ 其中：

   • (y)：待求的在 (x) 處的插值結果。
   • (y_0, y_1)：已知點對應的因變量值。
   • (x_0, x_1)：已知點對應的自變量值。
   • (x)：需要插值的自變量位置。 公式中的 (frac{(y_1 - y_0)}{(x_1 - x_0)}) 代表直線的斜率（Slope），表示因變量隨自變量變化的速率。((x - x_0)) 是目标點與起點 (x_0) 的距離。整個公式的含義是：從起點值 (y_0) 開始，加上斜率乘以距離，得到目标點的值。

3. 應用場景

   線性插值因其簡單高效，廣泛應用于科學計算、工程、計算機圖形學、數據分析等領域：

   • 數據填充：在時間序列或空間數據中，填補缺失的數據點。
   • 圖像處理：在縮放或旋轉圖像時，計算新像素位置的顔色值（如雙線性插值的基礎）。
   • 數值分析：求解方程或積分時的初步近似。
   • 工程計算：查表法（如三角函數表、對數表）中，在表格列出的離散值之間進行估算。
   • 動畫與遊戲：在關鍵幀之間生成平滑的運動路徑。

4. 優點與局限性

   • 優點：計算極其簡單快速，易于理解和實現。
   • 局限性：它假設數據在兩點間呈線性變化。如果實際數據在該區間内是非線性的（例如存在曲率或波動），線性插值會産生誤差，估算結果可能不夠精确。對于更平滑或更精确的估算，可能需要使用更高階的插值方法，如多項式插值、樣條插值等。

參考資料：

1. Wikipedia - Linear Interpolation: 提供基礎定義、公式推導和基本應用介紹。 (https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_interpolation)
2. Wolfram MathWorld - Linear Interpolation: 提供數學定義和公式的清晰表述。 (https://mathworld.wolfram.com/LinearInterpolation.html)
3. Paul Bourke - Interpolation methods: 詳細比較了線性插值與其他插值方法（如三次樣條）的優缺點和應用場景。 (http://paulbourke.net/miscellaneous/interpolation/)
4. NASA Technical Memorandum (SP-7016): 在工程應用中提及查表與插值技術（如導航計算）。 (https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19700019207/downloads/19700019207.pdf - 注：此為示例性引用類型，實際應用廣泛見于各類工程手冊和計算文檔)。

網絡擴展資料

線性插值（linear interpolation）是一種在兩個已知數據點之間估算中間值的方法，通過假設數據點之間的變化是線性的（即沿直線分布）來進行計算。

核心概念

1. 數學定義
   已知兩點 ((x_0, y_0)) 和 ((x_1, y_1))，在區間 ([x_0, x_1]) 内任意位置 (x) 的插值結果 (y) 可通過以下公式計算：
   $$ y = y_0 + frac{(y_1 - y_0)(x - x_0)}{x_1 - x_0} $$
   或等價地以權重參數 (t)（(t in [0, 1])）表示：
   $$ y = (1 - t)y_0 + t y_1 $$
   其中 (t = frac{x - x_0}{x_1 - x_0})。

2. 幾何意義
   通過兩點畫一條直線，根據目标點的位置按比例确定其值。例如，在動畫中，若物體從位置 (A) 移動到 (B)，線性插值可計算中間每一幀的位置。

應用場景

• 計算機圖形學：圖像縮放、紋理映射、關鍵幀動畫平滑過渡。
• 數據分析：填補缺失數據或簡化曲線。
• 工程計算：傳感器數據采樣間隔内的粗略估算。

局限性

• 假設線性變化：若實際數據非線性變化（如指數增長、周期性波動），插值結果可能不準确。
• 平滑性不足：相比高階插值（如三次樣條），線性插值生成的曲線可能存在“棱角”。

示例

已知一天中 12:00 溫度為 20°C，15:00 為 26°C，用線性插值估算 13:30 的溫度：
$$ t = frac{13.5 - 12}{15 - 12} = 0.5, quad y = (1 - 0.5) times 20 + 0.5 times 26 = 23°C $$

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