integral calculus是什麼意思，integral calculus的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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積分學（Integral Calculus）是微積分的核心分支之一，主要研究積分及其應用。它與微分學共同構成微積分的基礎，廣泛應用于科學、工程和經濟等領域。以下是詳細解釋：

1.基本概念

• 積分：用于計算函數在某個區間内的累積量，例如面積、體積或總量。積分分為兩種：

  • 不定積分：求函數的原函數（即反導數），表示為 $int f(x) , dx = F(x) + C$，其中 $C$ 是積分常數。
  • 定積分：計算函數在區間 $[a, b]$ 上的累積量，表示為 $int_a^b f(x) , dx$，結果為數值，如曲線下的面積。

• 符號：積分符號 $int$ 由萊布尼茨引入，形似拉長的“S”，代表求和（Sum）。

2.核心定理

• 微積分基本定理：連接積分與微分，表明定積分可通過原函數計算： $$ int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a), $$ 其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函數。

3.方法與技巧

• 換元積分法：通過變量替換簡化積分，類似鍊式法則的逆過程。
• 分部積分法：基于乘積法則，公式為 $int u , dv = uv - int v , du$。
• 數值積分：當解析解困難時，用近似方法（如梯形法則）計算積分值。

4.應用領域

• 幾何：計算曲線圍成的面積、旋轉體體積（如圓柱體體積公式 $pi int_a^b [f(x)] , dx$）。
• 物理：求物體運動的位移（速度積分）、能量計算。
• 概率論：連續概率分布的積分結果為概率（如 $int_{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1$）。
• 工程與經濟：分析信號累積效應、計算複利或人口增長模型。

5.曆史背景

積分學由牛頓和萊布尼茨在17世紀獨立發展，其理論為現代科學提供了關鍵工具，如愛因斯坦相對論中的積分應用。

總結來說，積分學通過數學方式量化“累積變化”，是理解連續現象的重要工具。

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integral

解釋： integral 指的是一個數學術語，表示曲線下的面積或者函數的積分。

例句：

• The area under the curve can be calculated using the integral of the function.（曲線下的面積可以使用函數的積分來計算。）
• The integral of the velocity function gives the displacement of the object.（速度函數的積分給出了物體的位移。）

用法： integral 可以作為形容詞或者名詞使用。

• 形容詞用法：integral 的形容詞用法是 integrated，表示被整合的或者不可分割的。
• 名詞用法：integral 的名詞用法是 integration，表示積分。

近義詞： integration

反義詞： derivative（導數）

calculus

解釋： calculus 是一種數學學科，主要研究函數、極限、導數和積分等相關概念和方法。

例句：

• Calculus is an important branch of mathematics.（微積分是數學的一個重要分支。）
• The problem required the use of calculus to solve.（這個問題需要用微積分來解決。）

用法： calculus 可以作為名詞使用，常用于描述一種學科或者一種方法論。

近義詞： analysis（分析學）

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