hyperplane是什麼意思，hyperplane的意思翻譯、用法、同義詞、例句

hyperplane英标

英:/''haɪpəpleɪn/ 美:/'ˈhaɪpərˌpleɪn/

常用詞典

n. [數] 超平面

例句

Free arrangement is a very important kind of hyperplane arrangement.

自由構形是超平面構形中一類重要的構形。

The invention of hyperplane kinescopes is another technical innovation.

顯像管的發明是又一次技術革新。

How to determine orientation of the separating hyperplane in LIBLINEAR?

如何确定方向LIBLINEAR分離超平面的嗎?。

On the other hand, support vectors are the points that define the hyperplane.

另一方面，支持向量定義的平面的點。

Distribution of first fitting points on hyperplane is derived in the diffusion process.

求出了一類擴散過程關于超平面的首中點分布。

同義詞

n.|lineoid;[數]超平面

專業解析

在數學和機器學習領域，超平面（Hyperplane）是一個核心概念，指存在于高維空間中的一個幾何對象。其本質是比所在空間維度低一維的平坦子空間。以下是詳細解釋：

數學定義與核心特征
在 n 維空間（例如，n 維歐幾裡得空間 Rⁿ）中，一個超平面是一個 n-1 維的子空間。它由所有滿足一個線性方程的點構成：

$$mathbf{w} cdot mathbf{x} + b = 0$$

其中：
- $mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)$ 是空間中的一個點（向量）。
- $mathbf{w} = (w_1, w_2, ..., w_n)$ 是一個非零向量，稱為法向量，它垂直于超平面，定義了超平面的方向。
- $b$ 是一個标量常數，稱為偏置項或截距，決定了超平面相對于原點的位置。
- $mathbf{w} cdot mathbf{x}$ 表示向量 $mathbf{w}$ 和 $mathbf{x}$ 的點積（内積）。
  這個方程将整個 n 維空間劃分為兩個半空間：$mathbf{w} cdot mathbf{x} + b > 0$ 和 $mathbf{w} cdot mathbf{x} + b < 0$。
幾何直觀理解
可以通過降維來理解超平面：
- 在 1 維空間（直線）：一個點（0 維）可以看作是該直線上的“超平面”。它滿足方程 $w cdot x + b = 0$（例如，$x = c$）。
- 在 2 維空間（平面）：一條直線（1 維）就是一個超平面。例如，方程 $ax + by + c = 0$ 定義了一條直線。
- 在 3 維空間（立體空間）：一個平面（2 維）就是一個超平面。例如，方程 $ax + by + cz + d = 0$ 定義了一個平面。
- 在更高維空間（n > 3）：超平面就是 n-1 維的“平坦”子集。雖然無法直觀可視化，但其數學定義和性質（如用線性方程定義、将空間分成兩半）與低維情況一緻。
關鍵應用領域
- 線性分類（機器學習）：超平面是許多分類算法（尤其是支持向量機 (SVM)）的核心。SVM 的目标就是找到一個最優超平面，使得該超平面能夠最大化地将不同類别的數據點分隔開（即最大化間隔）。這個超平面就是決策邊界。來源：經典機器學習教材如 Christopher Bishop 的《Pattern Recognition and Machine Learning》或機器學習課程資料廣泛讨論此應用。
- 線性規劃（優化）：在約束優化問題中，約束條件常常表示為線性不等式（如 $a^T x leq b$），這些不等式定義的可行域的邊界通常由超平面構成。最優解往往位于這些超平面的交點上。
- 幾何與線性代數：超平面是研究向量空間結構、凸集性質（凸集被超平面支撐）、仿射幾何等的基礎概念。它們是線性泛函的核空間（零空間）的幾何體現。

超平面是 n 維空間中一個 n-1 維的平坦子空間，由一個線性方程 $mathbf{w} cdot mathbf{x} + b = 0$ 定義。其核心作用在于将空間劃分為兩個半空間，這一特性使其成為機器學習（如 SVM 分類邊界）、優化（線性規劃約束邊界）和高等數學（幾何、線性代數）中的基礎工具。理解其法向量和偏置項的含義對于把握其幾何方向與位置至關重要。

網絡擴展資料

在數學和機器學習中，hyperplane（超平面）是指一個将高維空間劃分為兩部分的高維幾何對象。以下是詳細解釋：

1.數學定義

超平面是n維空間中的(n-1)維子空間。例如：

在1維空間（直線）中，超平面是一個點；
在2維空間（平面）中，超平面是一條直線；
在3維空間中，超平面是一個普通平面；
在更高維空間中，超平面保持類似的“減一維”特性。

其一般方程可表示為線性組合：
$$ w_1x_1 + w_2x_2 + dots + w_nx_n + b = 0 $$
其中，( w )是法向量（決定超平面的方向），( b )是偏移量。

2.幾何意義

超平面的核心作用是通過線性分割将空間分為兩部分。例如：

在2維中，直線( ax + by + c = 0 )将平面分為兩個半平面；
在3維中，平面( ax + by + cz + d = 0 )将空間分為兩半。

3.機器學習中的應用

在支持向量機（SVM）等算法中，超平面被用作分類邊界。例如：

通過最大化不同類别數據到超平面的距離（間隔），找到最優分類邊界；
在非線性可分數據中，結合核函數将數據映射到高維空間，再用超平面分割。

4.關鍵性質

法向量：超平面的方向由方程中的系數向量( w )決定。
距離計算：點( (x_1, x_2, dots, x_n) )到超平面的距離公式為：
$$ frac{|w_1x_1 + w_2x_2 + dots + w_nx_n + b|}{sqrt{w_1 + w_2 + dots + w_n}} $$

總結來說，hyperplane是高維空間中的一種基礎分隔工具，廣泛應用于幾何、優化和機器學習領域。

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