hyperplane是什么意思，hyperplane的意思翻译、用法、同义词、例句

hyperplane英标

英:/''haɪpəpleɪn/ 美:/'ˈhaɪpərˌpleɪn/

常用词典

n. [数] 超平面

例句

Free arrangement is a very important kind of hyperplane arrangement.

自由构形是超平面构形中一类重要的构形。

The invention of hyperplane kinescopes is another technical innovation.

显像管的发明是又一次技术革新。

How to determine orientation of the separating hyperplane in LIBLINEAR?

如何确定方向LIBLINEAR分离超平面的吗?。

On the other hand, support vectors are the points that define the hyperplane.

另一方面，支持向量定义的平面的点。

Distribution of first fitting points on hyperplane is derived in the diffusion process.

求出了一类扩散过程关于超平面的首中点分布。

同义词

n.|lineoid;[数]超平面

专业解析

在数学和机器学习领域，超平面（Hyperplane）是一个核心概念，指存在于高维空间中的一个几何对象。其本质是比所在空间维度低一维的平坦子空间。以下是详细解释：

数学定义与核心特征
在 n 维空间（例如，n 维欧几里得空间 Rⁿ）中，一个超平面是一个 n-1 维的子空间。它由所有满足一个线性方程的点构成：

$$mathbf{w} cdot mathbf{x} + b = 0$$

其中：
- $mathbf{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)$ 是空间中的一个点（向量）。
- $mathbf{w} = (w_1, w_2, ..., w_n)$ 是一个非零向量，称为法向量，它垂直于超平面，定义了超平面的方向。
- $b$ 是一个标量常数，称为偏置项或截距，决定了超平面相对于原点的位置。
- $mathbf{w} cdot mathbf{x}$ 表示向量 $mathbf{w}$ 和 $mathbf{x}$ 的点积（内积）。
  这个方程将整个 n 维空间划分为两个半空间：$mathbf{w} cdot mathbf{x} + b > 0$ 和 $mathbf{w} cdot mathbf{x} + b < 0$。
几何直观理解
可以通过降维来理解超平面：
- 在 1 维空间（直线）：一个点（0 维）可以看作是该直线上的“超平面”。它满足方程 $w cdot x + b = 0$（例如，$x = c$）。
- 在 2 维空间（平面）：一条直线（1 维）就是一个超平面。例如，方程 $ax + by + c = 0$ 定义了一条直线。
- 在 3 维空间（立体空间）：一个平面（2 维）就是一个超平面。例如，方程 $ax + by + cz + d = 0$ 定义了一个平面。
- 在更高维空间（n > 3）：超平面就是 n-1 维的“平坦”子集。虽然无法直观可视化，但其数学定义和性质（如用线性方程定义、将空间分成两半）与低维情况一致。
关键应用领域
- 线性分类（机器学习）：超平面是许多分类算法（尤其是支持向量机 (SVM)）的核心。SVM 的目标就是找到一个最优超平面，使得该超平面能够最大化地将不同类别的数据点分隔开（即最大化间隔）。这个超平面就是决策边界。来源：经典机器学习教材如 Christopher Bishop 的《Pattern Recognition and Machine Learning》或机器学习课程资料广泛讨论此应用。
- 线性规划（优化）：在约束优化问题中，约束条件常常表示为线性不等式（如 $a^T x leq b$），这些不等式定义的可行域的边界通常由超平面构成。最优解往往位于这些超平面的交点上。
- 几何与线性代数：超平面是研究向量空间结构、凸集性质（凸集被超平面支撑）、仿射几何等的基础概念。它们是线性泛函的核空间（零空间）的几何体现。

超平面是 n 维空间中一个 n-1 维的平坦子空间，由一个线性方程 $mathbf{w} cdot mathbf{x} + b = 0$ 定义。其核心作用在于将空间划分为两个半空间，这一特性使其成为机器学习（如 SVM 分类边界）、优化（线性规划约束边界）和高等数学（几何、线性代数）中的基础工具。理解其法向量和偏置项的含义对于把握其几何方向与位置至关重要。

网络扩展资料

在数学和机器学习中，hyperplane（超平面）是指一个将高维空间划分为两部分的高维几何对象。以下是详细解释：

1.数学定义

超平面是n维空间中的(n-1)维子空间。例如：

在1维空间（直线）中，超平面是一个点；
在2维空间（平面）中，超平面是一条直线；
在3维空间中，超平面是一个普通平面；
在更高维空间中，超平面保持类似的“减一维”特性。

其一般方程可表示为线性组合：
$$ w_1x_1 + w_2x_2 + dots + w_nx_n + b = 0 $$
其中，( w )是法向量（决定超平面的方向），( b )是偏移量。

2.几何意义

超平面的核心作用是通过线性分割将空间分为两部分。例如：

在2维中，直线( ax + by + c = 0 )将平面分为两个半平面；
在3维中，平面( ax + by + cz + d = 0 )将空间分为两半。

3.机器学习中的应用

在支持向量机（SVM）等算法中，超平面被用作分类边界。例如：

通过最大化不同类别数据到超平面的距离（间隔），找到最优分类边界；
在非线性可分数据中，结合核函数将数据映射到高维空间，再用超平面分割。

4.关键性质

法向量：超平面的方向由方程中的系数向量( w )决定。
距离计算：点( (x_1, x_2, dots, x_n) )到超平面的距离公式为：
$$ frac{|w_1x_1 + w_2x_2 + dots + w_nx_n + b|}{sqrt{w_1 + w_2 + dots + w_n}} $$

总结来说，hyperplane是高维空间中的一种基础分隔工具，广泛应用于几何、优化和机器学习领域。

别人正在浏览的英文单词...

【别人正在浏览】