adj. 超幾何的
In part II, we consider the recurrence formula of double hypergeometric terms.
在文章的第二部分，我們考慮了雙超幾何項的遞推公式。
In this paper, the inclination functions are expressed as the hypergeometric functions.
本文用超幾何函數來表示傾角函數。
The zeroth order approximation of the solution can be expressed in terms of confluent hypergeometric functions.
解的零級近似可以用彙合超幾何函數表示。
These coefficients are expressed by the hypergeometric functions and a method with high efficiency in computations in presented.
為了提高計算效率，作者将這些系數用超幾何函數予以表示，并由此提出了高效的計算方法。
By the next morning I had established the existence of a class of Fuchsian functions, those which come from the hypergeometric series;
第二天早上之前，我已經建立好一類Fuchsian函數的存在性證明，這些函數來自于超幾何序列；
hypergeometric function
超比函數；超幾何函數
超幾何（hypergeometric）是數學和統計學中的重要概念，主要用于描述兩類經典模型：
數學統計中的超幾何分布
超幾何分布（Hypergeometric Distribution）描述在不放回抽樣場景下，從有限總體中抽取特定成功樣本的概率。其概率質量函數為：
$$ P(X = k) = frac{binom{K}{k} binom{N-K}{n-k}}{binom{N}{n}} $$
其中，$N$為總體數量，$K$為成功元素數量，$n$為抽樣數量，$k$為抽樣中的成功數。該分布常用于質量控制、生物統計等領域，例如計算從一批産品中隨機抽取不合格品的概率。
數學分析中的超幾何函數
超幾何函數（Hypergeometric Function）指滿足高斯超幾何微分方程的解，其一般形式為幂級數：
$$ {}_2F1(a,b;c;z) = sum{n=0}^{infty} frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} frac{z^n}{n!} $$
其中$(q)_n$為Pochhammer符號。該函數在物理、工程及特殊函數理論中有廣泛應用，如電磁學中的勢場分析。
學術引用來源：
“hypergeometric”（超幾何）是一個數學和統計學中的專業術語，主要與超幾何分布（hypergeometric distribution）和超幾何函數（hypergeometric function）相關。以下是詳細解釋：
用于計算在有限總體中，不放回抽樣時成功事件（如抽取特定對象）的概率。例如：
概率質量函數為： $$ P(X=k) = frac{dbinom{K}{k} dbinom{N-K}{n-k}}{dbinom{N}{n}} $$ 其中：
超幾何分布強調無放回抽樣，樣本間概率相互依賴；而二項分布適用于有放回抽樣，每次試驗獨立。
如果需要具體案例或公式推導的補充，可以進一步說明！
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