n. 極限圓
n.|horicycle;極限圓
在雙曲幾何中，horocycle（極限圓）是一種特殊曲線，它可理解為雙曲平面上具有"無限大半徑"的圓。這個概念由尼古拉斯·洛巴切夫斯基在19世紀非歐幾何研究中首次提出，現已成為現代幾何學的重要研究對象。
從數學定義來看，horocycle可表述為：在龐加萊圓盤模型中，與絕對形（邊界圓）相切于某點，且所有點與該切點具有相同雙曲距離的曲線。其微分幾何特性表現為具有零測地曲率，這使其在雙曲對稱性的研究中占據核心地位。
根據美國數學學會出版的《雙曲幾何導論》，horocycle在以下領域具有關鍵應用價值：
三維推廣形式horosphere（極限球）在幾何拓撲領域尤為重要，這類曲面具有與歐氏平面相同的内在幾何結構。當前研究顯示，horocycle流在理解雙曲3-流形的動力學性質方面發揮關鍵作用，相關成果已發表于《數學年刊》等頂級期刊。
根據權威詞典釋義，"horocycle"在數學領域中翻譯為極限圓，是雙曲幾何中的核心概念。以下是詳細解析：
1. 基本定義 在雙曲平面（如龐加萊圓盤模型）中，極限圓指一種無限半徑的特殊圓。它由所有與某條測地線相切于理想邊界（即無限遠點）的點構成，可理解為測地線在無限遠處的"極限形态"。
2. 幾何特性
3. 應用領域 該概念常見于：
注：日常英語中"cycle"多指周期/循環（如所述），但"horocycle"是專業數學術語，不可混淆。如需深入理解，建議查閱雙曲幾何教材中的測地線章節。
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