elementary function是什麼意思，elementary function的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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專業解析

初等函數（elementary function）是數學中一類基礎且重要的函數，通常由有限次代數運算（加、減、乘、除、乘方、開方）和函數複合作用于基本初等函數而得到。它們在微積分、工程學和物理學中應用廣泛。

一、核心定義與組成

初等函數的核心是基本初等函數，包括以下五類：

1. 幂函數：形式為 ( f(x) = x^a )（( a ) 為實數），例如 ( x )、( sqrt{x} )（即 ( x^{1/2} )）。
2. 指數函數：形式為 ( f(x) = a^x )（( a > 0 ) 且 ( a eq 1 )），如自然指數函數 ( e^x )。
3. 對數函數：形式為 ( f(x) = log_a x )（( a > 0 ) 且 ( a eq 1 )），常見如自然對數 ( ln x )。
4. 三角函數：如正弦 ( sin x )、餘弦 ( cos x )、正切 ( tan x ) 等。
5. 反三角函數：如反正弦 ( arcsin x )、反餘弦 ( arccos x ) 等。

二、初等函數的特性

• 構造規則：通過基本初等函數的有限次四則運算（加、減、乘、除）和複合（如 ( sin(x) )）生成。
• 可微性與連續性：在其定義域内通常連續且可導（除個别孤立點，如正切函數的奇點）。
• 非初等函數示例：伽馬函數 ( Gamma(x) )、誤差函數 ( operatorname{erf}(x) ) 等無法通過上述有限次操作構造，故不屬于初等函數。

三、應用領域

初等函數是解決科學問題的基石：

• 微積分：作為導數和積分的主要對象（如 ( int e^x , dx = e^x + C )）。
• 微分方程：描述自然現象（如指數衰減模型 ( y' = -ky )）。
• 工程建模：電路分析（正弦交流電）、結構力學（三角函數解振動問題）。

權威參考來源：

定義與分類依據經典數學教材，如 Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals（第 8 版）中對初等函數的系統闡述。具體内容可參考 MIT OpenCourseWare 相關講義 MIT Math Notes（需驗證鍊接有效性）。

網絡擴展資料

"Elementary function"（初等函數）是數學中一個基礎而重要的概念，通常指由基本數學運算和常見基礎函數通過有限次組合形成的函數。以下是詳細解釋：

1. 核心定義 初等函數包括以下五類基礎函數及其有限次組合：

• 多項式函數（如 $f(x)=x+3x$）
• 指數函數（如 $e^x$ 或 $2^x$）
• 對數函數（如 $ln x$ 或 $log_2 x$）
• 三角函數（如 $sin x$, $cos x$）
• 反三角函數（如 $arcsin x$, $arctan x$）

這些函數通過四則運算（加減乘除）、複合運算（如 $e^{sin x}$）或有限次組合構成。

2. 典型特征

• 具有明确的解析表達式
• 在定義域内通常連續且可導
• 導數與積分仍為初等函數（但某些積分可能例外，如 $e^{-x}$ 的積分需用誤差函數表示）

3. 非初等函數示例 以下函數不屬于初等函數：

• 伽馬函數 $Gamma(x)$
• 誤差函數 $text{erf}(x)$
• 分段定義函數（如絕對值函數 $|x|$ 需通過分段或 $sqrt{x}$ 表達時才屬于初等函數）

4. 應用領域 初等函數構成數學分析的基石，廣泛應用于：

• 物理學（描述波動、衰減等現象）
• 工程學（建模與計算）
• 經濟學（複利計算、增長模型）

擴展說明：雖然初等函數的定義在不同文獻中略有差異，但普遍認為雙曲函數（如 $sinh x$）及其反函數可通過指數函數定義，因此也屬于初等函數。而特殊函數（如貝塞爾函數）則需要通過級數或積分定義，屬于更高階的數學工具。

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