duality theorem是什麼意思，duality theorem的意思翻譯、用法、同義詞、例句
常用詞典
[數] 對偶定理
例句
Weak duality theorem is established under generalized convexity conditions.
在廣義凸性條件下，建立了弱對偶性定理。
Finally, the generalized dual model of the problem (VP) is presented with the help of upper subdifferential of function, and a weak duality theorem is given.
接着，利用函數的上次微分構造了不可微向量優化問題（VP）的廣義對偶模型，并且在適當的弱凸性條件下建立了弱對偶定理。
The duality theory is the basic theory for mathematical planning in which the study of weak duality theorem under different controlling conditions is an important part of duality theorem research.
對偶理論是數學規劃的理論基礎，其中在各種約束條件下對弱對偶定理的研究是對偶理論研究的重要組成部分。
A corresponding complementary energy theorem is also derived in such a form that it clearly demonstrates the duality analogy with the displacement formulation of a plane elasticity problem.
據此，将彎矩函數列式推廣到具有加強條的薄闆彎曲問題，給出了與平面彈性問題完全對應的餘能原理。
專業解析
對偶定理（Duality Theorem）是數學優化和泛函分析中的一個核心概念，它揭示了原問題（Primal Problem）與其對偶問題（Dual Problem）之間深刻的、具有實用價值的關系。簡單來說，它描述了在某些條件下，一個優化問題（原問題）的最優解值與其對應的另一個優化問題（對偶問題）的最優解值相等，或者兩者之間存在緊密的界限關系。
核心含義：
- 對偶性的本質： 許多優化問題天然地伴隨着一個“鏡像”問題，即對偶問題。原問題通常是在某個約束條件下最小化（或最大化）一個目标函數，而對偶問題則通過某種方式（如拉格朗日乘子法）将原問題的約束條件吸收到目标函數中，形成一個最大化（或最小化）的新問題。
- 對偶定理的核心結論： 最重要的對偶定理（特别是強對偶定理）表明，在滿足特定條件（如凸性、約束品性等）下：
- 強對偶性成立： 原問題的最優解值（Optimal Value）等于其對偶問題的最優解值。
- 互補松弛性： 原問題的最優解和對偶問題的最優解滿足特定的互補條件（Complementary Slackness），這為驗證解的最優性提供了依據。
- 弱對偶性： 即使強對偶性不成立，弱對偶性通常也成立。這意味着對偶問題的最優解值提供了原問題最優解值的一個下界（對于最小化問題）或上界（對于最大化問題）。這本身對于估計原問題解的質量或設計求解算法（如分支定界法）非常有用。
關鍵應用與價值：
- 求解原問題： 有時求解對偶問題比求解原問題更簡單（例如，對偶問題可能有更少的約束或更簡單的結構）。強對偶性保證了通過求解對偶問題即可獲得原問題的最優值。
- 最優性驗證： 互補松弛性條件是驗證一組解是否為原問題和對偶問題最優解的重要工具。
- 敏感性分析： 對偶變量（拉格朗日乘子）具有重要的經濟學或物理解釋，它們量化了原問題約束條件右端項微小變化對最優目标值的影響（影子價格）。
- 算法設計基礎： 許多強大的優化算法（如拉格朗日松弛法、某些内點法）都建立在對偶理論的基礎之上。
權威性參考來源：
對偶定理是數學規劃（尤其是線性規劃、凸優化）和泛函分析的标準内容。以下權威來源提供了詳細闡述和證明：
- 斯坦福大學 Stephen Boyd 和 Lieven Vandenberghe 的教材《凸優化》(Convex Optimization)： 該書第5章專門論述對偶性，清晰解釋了拉格朗日對偶函數、對偶問題、弱對偶和強對偶條件（如Slater條件），是理解凸優化中對偶理論的經典教材。可在 Boyd 教授的主頁找到相關章節和課程資料。
- 麻省理工學院開放課程 (MIT OpenCourseWare)： 課程如“優化方法”（Optimization Methods）或“供應鍊規劃”（Supply Chain Planning）通常會深入講解線性規劃和對偶理論，包括對偶定理的推導和應用。其課程筆記和講義是權威的學習資源。
- 普林斯頓大學 Robert Vanderbei 的教材《線性規劃：基礎與擴展》(Linear Programming: Foundations and Extensions)： 該書第5章詳細介紹了線性規劃中的對偶理論，包括對偶定理的證明及其經濟解釋，是線性規劃領域的标準參考書之一。
- 維基百科“對偶性（優化）”詞條 (Wikipedia "Duality (optimization)")： 該詞條提供了對偶概念的一般性介紹，涵蓋了線性規劃、凸優化和非線性規劃中的對偶性，并鍊接到相關定理和概念。雖然維基百科是開放編輯的，但該詞條内容經過大量審核，通常能提供準确的基礎知識和參考文獻指引。
- 數學百科全書 (Encyclopedia of Mathematics)： 由歐洲數學學會維護的線上數學百科全書，其“對偶性”和“對偶定理”條目提供了更數學化和抽象的定義，適合需要深入了解數學基礎的讀者。
對偶定理是連接原優化問題與其對偶問題的橋梁，它表明在特定條件下兩者具有相同的最優值（強對偶性），或至少存在界限關系（弱對偶性）。這一定理不僅在理論上深刻，而且為求解優化問題、驗證最優解、進行敏感性分析和設計高效算法提供了強大的工具。理解對偶定理是掌握現代優化理論和方法的關鍵。
網絡擴展資料
“duality theorem”是由“duality”（二元性/對偶性）和“theorem”（定理）組成的數學術語，主要應用于邏輯代數、優化理論等領域。以下是詳細解釋：
1.基本含義
- 對偶定理（Duality Theorem）指出：若兩個邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。這一性質體現了邏輯運算中的對稱性。
- 對偶式（Dual Expression）的構造方式為：将原式中的“與”（AND）替換為“或”（OR），“或”替換為“與”，同時将0替換為1、1替換為0。例如，邏輯式 ( Y = A + B ) 的對偶式為 ( Y_D = A cdot B )。
2.典型應用
- 邏輯運算：在布爾代數中，對偶定理簡化了公式推導。例如：
- 加法對偶定理：( A + 0 = A ) 對應 ( A cdot 1 = A )。
- 乘法對偶定理：( A cdot 1 = A ) 對應 ( A + 0 = A )。
- 優化理論：線性規劃中的對偶定理表明，原問題與對偶問題的最優值相等（需結合其他領域知識，搜索結果未直接提及）。
3.廣義理解
- 二元性概念：在數學中，“duality”泛指一種對稱或互補關系，如幾何中的點線對偶、物理中的波粒二象性。
- 對偶結構：某些數學對象（如向量空間、圖論中的平面圖）存在對應的對偶對象，其性質可通過原對象推導。
4.核心意義
對偶定理揭示了不同數學結構之間的内在聯繫，為簡化證明、發現新規律提供了工具。它在計算機科學（邏輯電路設計）、經濟學（資源優化）等領域有廣泛應用。
如需更深入的數學證明或應用案例，建議參考線性規劃或布爾代數的專業資料。
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