duality theorem是什么意思，duality theorem的意思翻译、用法、同义词、例句
常用词典
[数] 对偶定理
例句
Weak duality theorem is established under generalized convexity conditions.
在广义凸性条件下，建立了弱对偶性定理。
Finally, the generalized dual model of the problem (VP) is presented with the help of upper subdifferential of function, and a weak duality theorem is given.
接着，利用函数的上次微分构造了不可微向量优化问题（VP）的广义对偶模型，并且在适当的弱凸性条件下建立了弱对偶定理。
The duality theory is the basic theory for mathematical planning in which the study of weak duality theorem under different controlling conditions is an important part of duality theorem research.
对偶理论是数学规划的理论基础，其中在各种约束条件下对弱对偶定理的研究是对偶理论研究的重要组成部分。
A corresponding complementary energy theorem is also derived in such a form that it clearly demonstrates the duality analogy with the displacement formulation of a plane elasticity problem.
据此，将弯矩函数列式推广到具有加强条的薄板弯曲问题，给出了与平面弹性问题完全对应的余能原理。
专业解析
对偶定理（Duality Theorem）是数学优化和泛函分析中的一个核心概念，它揭示了原问题（Primal Problem）与其对偶问题（Dual Problem）之间深刻的、具有实用价值的关系。简单来说，它描述了在某些条件下，一个优化问题（原问题）的最优解值与其对应的另一个优化问题（对偶问题）的最优解值相等，或者两者之间存在紧密的界限关系。
核心含义：
- 对偶性的本质： 许多优化问题天然地伴随着一个“镜像”问题，即对偶问题。原问题通常是在某个约束条件下最小化（或最大化）一个目标函数，而对偶问题则通过某种方式（如拉格朗日乘子法）将原问题的约束条件吸收到目标函数中，形成一个最大化（或最小化）的新问题。
- 对偶定理的核心结论： 最重要的对偶定理（特别是强对偶定理）表明，在满足特定条件（如凸性、约束品性等）下：
- 强对偶性成立： 原问题的最优解值（Optimal Value）等于其对偶问题的最优解值。
- 互补松弛性： 原问题的最优解和对偶问题的最优解满足特定的互补条件（Complementary Slackness），这为验证解的最优性提供了依据。
- 弱对偶性： 即使强对偶性不成立，弱对偶性通常也成立。这意味着对偶问题的最优解值提供了原问题最优解值的一个下界（对于最小化问题）或上界（对于最大化问题）。这本身对于估计原问题解的质量或设计求解算法（如分支定界法）非常有用。
关键应用与价值：
- 求解原问题： 有时求解对偶问题比求解原问题更简单（例如，对偶问题可能有更少的约束或更简单的结构）。强对偶性保证了通过求解对偶问题即可获得原问题的最优值。
- 最优性验证： 互补松弛性条件是验证一组解是否为原问题和对偶问题最优解的重要工具。
- 敏感性分析： 对偶变量（拉格朗日乘子）具有重要的经济学或物理解释，它们量化了原问题约束条件右端项微小变化对最优目标值的影响（影子价格）。
- 算法设计基础： 许多强大的优化算法（如拉格朗日松弛法、某些内点法）都建立在对偶理论的基础之上。
权威性参考来源：
对偶定理是数学规划（尤其是线性规划、凸优化）和泛函分析的标准内容。以下权威来源提供了详细阐述和证明：
- 斯坦福大学 Stephen Boyd 和 Lieven Vandenberghe 的教材《凸优化》(Convex Optimization)： 该书第5章专门论述对偶性，清晰解释了拉格朗日对偶函数、对偶问题、弱对偶和强对偶条件（如Slater条件），是理解凸优化中对偶理论的经典教材。可在 Boyd 教授的主页找到相关章节和课程资料。
- 麻省理工学院开放课程 (MIT OpenCourseWare)： 课程如“优化方法”（Optimization Methods）或“供应链规划”（Supply Chain Planning）通常会深入讲解线性规划和对偶理论，包括对偶定理的推导和应用。其课程笔记和讲义是权威的学习资源。
- 普林斯顿大学 Robert Vanderbei 的教材《线性规划：基础与扩展》(Linear Programming: Foundations and Extensions)： 该书第5章详细介绍了线性规划中的对偶理论，包括对偶定理的证明及其经济解释，是线性规划领域的标准参考书之一。
- 维基百科“对偶性（优化）”词条 (Wikipedia "Duality (optimization)")： 该词条提供了对偶概念的一般性介绍，涵盖了线性规划、凸优化和非线性规划中的对偶性，并链接到相关定理和概念。虽然维基百科是开放编辑的，但该词条内容经过大量审核，通常能提供准确的基础知识和参考文献指引。
- 数学百科全书 (Encyclopedia of Mathematics)： 由欧洲数学学会维护的在线数学百科全书，其“对偶性”和“对偶定理”条目提供了更数学化和抽象的定义，适合需要深入了解数学基础的读者。
对偶定理是连接原优化问题与其对偶问题的桥梁，它表明在特定条件下两者具有相同的最优值（强对偶性），或至少存在界限关系（弱对偶性）。这一定理不仅在理论上深刻，而且为求解优化问题、验证最优解、进行敏感性分析和设计高效算法提供了强大的工具。理解对偶定理是掌握现代优化理论和方法的关键。
网络扩展资料
“duality theorem”是由“duality”（二元性/对偶性）和“theorem”（定理）组成的数学术语，主要应用于逻辑代数、优化理论等领域。以下是详细解释：
1.基本含义
- 对偶定理（Duality Theorem）指出：若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。这一性质体现了逻辑运算中的对称性。
- 对偶式（Dual Expression）的构造方式为：将原式中的“与”（AND）替换为“或”（OR），“或”替换为“与”，同时将0替换为1、1替换为0。例如，逻辑式 ( Y = A + B ) 的对偶式为 ( Y_D = A cdot B )。
2.典型应用
- 逻辑运算：在布尔代数中，对偶定理简化了公式推导。例如：
- 加法对偶定理：( A + 0 = A ) 对应 ( A cdot 1 = A )。
- 乘法对偶定理：( A cdot 1 = A ) 对应 ( A + 0 = A )。
- 优化理论：线性规划中的对偶定理表明，原问题与对偶问题的最优值相等（需结合其他领域知识，搜索结果未直接提及）。
3.广义理解
- 二元性概念：在数学中，“duality”泛指一种对称或互补关系，如几何中的点线对偶、物理中的波粒二象性。
- 对偶结构：某些数学对象（如向量空间、图论中的平面图）存在对应的对偶对象，其性质可通过原对象推导。
4.核心意义
对偶定理揭示了不同数学结构之间的内在联系，为简化证明、发现新规律提供了工具。它在计算机科学（逻辑电路设计）、经济学（资源优化）等领域有广泛应用。
如需更深入的数学证明或应用案例，建议参考线性规划或布尔代数的专业资料。
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