Diophantine是什麼意思，Diophantine的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

adj. （與）丢番圖（有關）的

例句

Diophantine equation; prime; integer solution; Legendre symbol; congruence.

丢番圖方程；素數；整數解；勒讓德符號；同餘。

Diophantine equation; Positive integer solution; congruence; Recurrent sequence.

丢番圖方程；正整數解；同餘；遞歸序列。

An elementary proof of the Diophantine equation (the equation abbreviated) is given by...

運用遞推序列法，給出丢番圖方程(方程式略)的一個初等解法。

On the diophantine equation is the number one branch, it has a long history and rich content.

不定方程是數論的一個分支，它有着悠久的曆史與豐富的内容。

The method does not need solve the Diophantine equation, but reduces the computation of the algorithm.

這種方法無需求解丢番圖方程，減少了控制算法的計算量。

專業解析

"Diophantine"（丢番圖的）是一個數學術語，主要用來描述一類特定的方程或問題，其核心特征在于尋求整數解（有時也擴展到有理數解）。它得名于古希臘數學家丢番圖（Diophantus of Alexandria），他在其著作《算術》（Arithmetica）中系統地研究了這類問題。

以下是其詳細含義：

核心概念：整數解
- Diophantine 問題或方程的核心要求是尋找滿足方程的整數（如 ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...）解。有時要求是有理數解（可表示為兩個整數比的數）。
- 這與一般方程求解不同，後者通常允許實數或複數作為解。例如，方程 x + y = 5 在實數範圍内有無數解，但如果要求 x 和 y 都是整數，則解是有限的（如 (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (5,0) 等），這就是一個簡單的線性 Diophantine 方程。
典型形式：多項式方程
- 最常見的 Diophantine 方程是多項式方程，即方程中隻包含變量的整數次幂的加、減、乘運算。例如：
  - 線性 Diophantine 方程： ax + by = c （其中 a, b, c 是整數，求整數解 x, y）。這是最基本的形式。
  - 二次 Diophantine 方程：如著名的Pell 方程 x² - dy² = 1 （d 是非平方正整數），或畢達哥拉斯三元組 x² + y² = z² （求整數解 x, y, z）。
  - 高階方程：如費馬大定理涉及的 xⁿ + yⁿ = zⁿ （n > 2），要求非平凡整數解（即 xyz ≠ 0 的解）。
研究重點：解的存在性與求解方法
- Diophantine 分析的核心問題之一是判斷一個給定的 Diophantine 方程是否有解（存在性）。
- 如果确定有解，則進一步研究如何找到所有解或描述解的結構（求解方法）。
- 并非所有 Diophantine 方程都有解。例如，x² + y² = 3 就沒有整數解（因為任何整數的平方除以 4 的餘數隻能是 0 或 1，兩個平方和除以 4 的餘數隻能是 0, 1, 2，不可能是 3）。
- 求解方法因方程類型而異，可能涉及模運算、連分數、代數數論、橢圓曲線理論等高級工具。
現代意義與希爾伯特第十問題
- Diophantine 方程是數論的核心研究領域之一。
- 1900年，大衛·希爾伯特在其著名的23個問題中提出了第十問題：是否存在一個通用的算法，可以判斷任意給定的 Diophantine 方程是否有整數解？
- 這個問題的研究推動了可計算性理論的發展。最終在1970年，由尤裡·馬季亞謝維奇（Yuri Matiyasevich）在馬丁·戴維斯（Martin Davis）、希拉裡·普特南（Hilary Putnam）和朱莉娅·羅賓遜（Julia Robinson）等人工作的基礎上證明：這樣的通用算法是不存在的。這是數理邏輯和計算理論的一個裡程碑式結果。

總結來說，"Diophantine" 特指那些要求解的變量取值為整數（或有理數）的方程或問題。它源于丢番圖的工作，核心在于尋找整數解，是數論中一個曆史悠久且極其重要的分支，其研究涉及解的存在性判定、求解方法以及深刻的算法不可判定性結果。

網絡擴展資料

Diophantine（中文常譯作“刁番圖的”或“丢番圖的”）是一個與數論密切相關的數學術語，其含義和用法如下：

一、詞源與基本定義

該詞源于古希臘數學家Diophantus of Alexandria（約公元3世紀），他是代數與數論的先驅之一。Diophantine作為形容詞，表示“與Diophantus相關的”或“涉及整數解的方程研究”。

二、數學領域的核心概念

在數學中，Diophantine主要指Diophantine方程（Diophantine Equations），即研究整數解的代數方程。這類方程的一般形式為多項式方程，例如： $$ x^n + y^n = z^n $$ （如費馬大定理即研究此類方程的非平凡整數解）。

三、特點與研究方向

整數解限制：僅關注方程的整數解或有理數解，而非實數解。
經典問題：包括線性Diophantine方程（如 (ax + by = c) 的整數解）、二次方程（如佩爾方程 (x - Dy = 1)）等。
現代應用：在密碼學、計算機科學（如算法複雜性理論）和代數幾何中有重要應用。

四、示例

例如，方程 (x + y = z) 的整數解對應畢達哥拉斯三元組（如3,4,5），而方程 (x + y = z) 則無非零整數解（費馬大定理特例）。

五、相關領域

Diophantine分析：研究方程解的存在性與解法（如模算術、遞推法）。
Hilbert第十問題：關于Diophantine方程可解性的判定問題，已被證明在一般情況下不可解。

如需進一步了解具體方程或曆史背景，可參考數論教材或權威數學詞典。

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