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常用詞典

[數] 對角占優；[數] 對角優勢的

例句

The concept of local double diagonally matrix is introduced in this paper, and three sufficient conditions of the generalized sub-diagonally dominant matrices are obtained.

提出局部次對角占優矩陣的概念，得到了廣義次對角占優矩陣的二個充分條件。

This article introduces the concept of local diagonally dominant matrics, stu***s the properties and eigenvalues of the matrics and offers its application in stability theory.

引進了弱局部對角占優陣的概念，研究這類矩陣的性質及其特征值問題，并給出了在穩定性理論中的應用。

Generalized strictly diagonally dominant matrices play an important role in many fields, but it isn't easy to determine a matrix is a generalized strictly diagonally matrix or not.

廣義嚴格對角占優矩陣在許多領域中具有重要作用，但其判定是不容易的。

The estimation on the inverse elements of strictly diagonally dominant tridiagonal matrix is established; in this estimation, the nonnegative condition of matrix elements is moved.

利用嚴格對角占優和三對角矩陣的某些特性，推導出嚴格對角占優三對角矩陣逆元素的統一估計式。

In this paper we propose the concept of a weak strictly diagonally dominant matrix given some DE terminate sufficient conditions for generalized strictly diagonally dominant matrices.

本文提出了弱嚴格對角占優矩陣的概念，并由此給出了廣義嚴格對角占優矩陣的若幹判定條件。

專業解析

對角占優（Diagonally Dominant）是線性代數和數值分析中的一個重要概念，用于描述特定類型的矩陣特性。以下是詳細解釋：

一、基本定義

一個 ( n times n ) 矩陣 ( A = [a_{ij}] ) 滿足以下條件之一時稱為對角占優矩陣：

1. 嚴格行對角占優：

   矩陣每一行 ( i ) 的對角線元素絕對值均大于該行其他元素絕對值之和，即：

   $$ |a{ii}| > sum{j eq i} |a_{ij}| quad text{對所有 } i = 1, 2, ldots, n. $$

2. 嚴格列對角占優：

   矩陣每一列 ( j ) 的對角線元素絕對值均大于該列其他元素絕對值之和，即：

   $$ |a{jj}| > sum{i eq j} |a_{ij}| quad text{對所有 } j = 1, 2, ldots, n. $$

二、數學意義與性質

1. 可逆性保證：

   嚴格對角占優矩陣必然是非奇異的（即可逆），這一結論由Levy-Desplanques定理嚴格證明。

2. 數值穩定性：

   在求解線性方程組 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 時，若系數矩陣對角占優，則雅可比疊代法（Jacobi）和高斯-賽德爾疊代法（Gauss-Seidel）通常收斂。

3. 特征值分布：

   對角占優矩陣的特征值分布在複平面中，其範圍與對角線元素的模密切相關（Gershgorin圓盤定理的應用）。

三、應用場景

1. 微分方程數值解：

   在有限差分法或有限元法離散偏微分方程（如泊松方程）時，生成的系數矩陣常天然滿足對角占優條件。

2. 控制系統分析：

   動态系統狀态空間模型的穩定性分析中，對角占優性質可輔助判斷系統魯棒性。

3. 優化算法設計：

   在拟牛頓法等優化算法中，對角占優的Hessian矩陣近似可提升疊代效率。

四、示例說明

考慮矩陣：

$$ A = begin{bmatrix} 7 & 2 & 1 1 & 8 & 3 0 & 1 & 6 end{bmatrix} $$

• 行檢驗：

  第一行： ( |7| > |2| + |1| = 3 )

  第二行： ( |8| > |1| + |3| = 4 )

  第三行： ( |6| > |0| + |1| = 1 )

  滿足嚴格行對角占優。

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權威參考來源：

1. Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. （第10章讨論對角占優與疊代法收斂性）
2. Trefethen, L. N., & Bau, D. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. （第6章分析對角占優矩陣的數值性質）
3. Strang, G. (2019). Linear Algebra and Learning from Data. Wellesley-Cambridge Press. （第4章涉及對角占優在工程問題中的應用）

網絡擴展資料

對角占優矩陣（Diagonally Dominant Matrix）是線性代數中的一個重要概念，主要用于描述矩陣中每個對角線元素的絕對值與其所在行其他元素絕對值之關系。以下是詳細解釋：

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1.定義

一個方陣 ( A = [a_{ij}] ) 被稱為對角占優矩陣，需滿足以下條件之一：

• 嚴格對角占優：對每一行 ( i )，有
  $$ |a{ii}| > sum{j eq i} |a_{ij}|, $$ 即對角線元素的絕對值嚴格大于該行其他元素絕對值之和。
• 弱對角占優：對每一行 ( i )，有
  $$ |a{ii}| geq sum{j eq i} |a_{ij}|, $$ 即對角線元素的絕對值大于或等于該行其他元素絕對值之和。

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2.數學意義

對角占優矩陣的特性使其在數值分析和工程計算中非常重要：

• 可逆性：嚴格對角占優矩陣一定是可逆的。
• 疊代法的收斂性：在求解線性方程組 ( Ax = b ) 時（如雅可比疊代法、高斯-賽德爾法），若系數矩陣 ( A ) 嚴格對角占優，則疊代法保證收斂。

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3.示例

• 嚴格對角占優矩陣： $$ begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 -2 & 5 & 1 0 & 1 & 3 end{bmatrix} $$ 每一行滿足 ( |4| > |-1| + |0| )、( |5| > |-2| + |1| )、( |3| > |0| + |1| )。

• 弱對角占優矩陣： $$ begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4 end{bmatrix} $$ 第一行滿足 ( |3| = |1| + |1| )，其他行嚴格占優。

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4.擴展性質

• 對稱矩陣的特殊性：若嚴格對角占優矩陣同時是實對稱矩陣，且對角線元素均為正，則該矩陣是正定矩陣。
• 不可約對角占優：若矩陣弱對角占優且至少有一行嚴格占優，同時不可約（無法通過行列置換轉化為分塊上三角矩陣），則矩陣仍可逆。

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5.應用場景

• 數值穩定性：在電路分析、結構力學中，對角占優矩陣能避免計算誤差的累積。
• 特征值估計：對角線占優性可用于估計矩陣特征值的範圍（如Gershgorin圓定理）。

如果需要具體應用案例或更深入的數學證明，可以參考線性代數或數值分析教材中的相關章節。

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