diagonally dominant是什么意思，diagonally dominant的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 对角占优；[数] 对角优势的

例句

The concept of local double diagonally matrix is introduced in this paper, and three sufficient conditions of the generalized sub-diagonally dominant matrices are obtained.

提出局部次对角占优矩阵的概念，得到了广义次对角占优矩阵的二个充分条件。

This article introduces the concept of local diagonally dominant matrics, stu***s the properties and eigenvalues of the matrics and offers its application in stability theory.

引进了弱局部对角占优阵的概念，研究这类矩阵的性质及其特征值问题，并给出了在稳定性理论中的应用。

Generalized strictly diagonally dominant matrices play an important role in many fields, but it isn't easy to determine a matrix is a generalized strictly diagonally matrix or not.

广义严格对角占优矩阵在许多领域中具有重要作用，但其判定是不容易的。

The estimation on the inverse elements of strictly diagonally dominant tridiagonal matrix is established; in this estimation, the nonnegative condition of matrix elements is moved.

利用严格对角占优和三对角矩阵的某些特性，推导出严格对角占优三对角矩阵逆元素的统一估计式。

In this paper we propose the concept of a weak strictly diagonally dominant matrix given some DE terminate sufficient conditions for generalized strictly diagonally dominant matrices.

本文提出了弱严格对角占优矩阵的概念，并由此给出了广义严格对角占优矩阵的若干判定条件。

专业解析

对角占优（Diagonally Dominant）是线性代数和数值分析中的一个重要概念，用于描述特定类型的矩阵特性。以下是详细解释：

一、基本定义

一个 ( n times n ) 矩阵 ( A = [a_{ij}] ) 满足以下条件之一时称为对角占优矩阵：

严格行对角占优：
矩阵每一行 ( i ) 的对角线元素绝对值均大于该行其他元素绝对值之和，即：

$$ |a{ii}| > sum{j eq i} |a_{ij}| quad text{对所有 } i = 1, 2, ldots, n. $$
严格列对角占优：
矩阵每一列 ( j ) 的对角线元素绝对值均大于该列其他元素绝对值之和，即：

$$ |a{jj}| > sum{i eq j} |a_{ij}| quad text{对所有 } j = 1, 2, ldots, n. $$

二、数学意义与性质

可逆性保证：
严格对角占优矩阵必然是非奇异的（即可逆），这一结论由Levy-Desplanques定理严格证明。
数值稳定性：
在求解线性方程组 ( Amathbf{x} = mathbf{b} ) 时，若系数矩阵对角占优，则雅可比迭代法（Jacobi）和高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel）通常收敛。
特征值分布：
对角占优矩阵的特征值分布在复平面中，其范围与对角线元素的模密切相关（Gershgorin圆盘定理的应用）。

三、应用场景

微分方程数值解：
在有限差分法或有限元法离散偏微分方程（如泊松方程）时，生成的系数矩阵常天然满足对角占优条件。
控制系统分析：
动态系统状态空间模型的稳定性分析中，对角占优性质可辅助判断系统鲁棒性。
优化算法设计：
在拟牛顿法等优化算法中，对角占优的Hessian矩阵近似可提升迭代效率。

四、示例说明

考虑矩阵：

$$ A = begin{bmatrix} 7 & 2 & 1 1 & 8 & 3 0 & 1 & 6 end{bmatrix} $$

行检验：
第一行： ( |7| > |2| + |1| = 3 )

第二行： ( |8| > |1| + |3| = 4 )

第三行： ( |6| > |0| + |1| = 1 )

满足严格行对角占优。

权威参考来源：

Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations (4th ed.). Johns Hopkins University Press. （第10章讨论对角占优与迭代法收敛性）
Trefethen, L. N., & Bau, D. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. （第6章分析对角占优矩阵的数值性质）
Strang, G. (2019). Linear Algebra and Learning from Data. Wellesley-Cambridge Press. （第4章涉及对角占优在工程问题中的应用）

网络扩展资料

对角占优矩阵（Diagonally Dominant Matrix）是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述矩阵中每个对角线元素的绝对值与其所在行其他元素绝对值之关系。以下是详细解释：

1.定义

一个方阵 ( A = [a_{ij}] ) 被称为对角占优矩阵，需满足以下条件之一：

严格对角占优：对每一行 ( i )，有
$$ |a{ii}| > sum{j eq i} |a_{ij}|, $$ 即对角线元素的绝对值严格大于该行其他元素绝对值之和。
弱对角占优：对每一行 ( i )，有
$$ |a{ii}| geq sum{j eq i} |a_{ij}|, $$ 即对角线元素的绝对值大于或等于该行其他元素绝对值之和。

2.数学意义

对角占优矩阵的特性使其在数值分析和工程计算中非常重要：

可逆性：严格对角占优矩阵一定是可逆的。
迭代法的收敛性：在求解线性方程组 ( Ax = b ) 时（如雅可比迭代法、高斯-赛德尔法），若系数矩阵 ( A ) 严格对角占优，则迭代法保证收敛。

3.示例

严格对角占优矩阵： $$ begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 -2 & 5 & 1 0 & 1 & 3 end{bmatrix} $$ 每一行满足 ( |4| > |-1| + |0| )、( |5| > |-2| + |1| )、( |3| > |0| + |1| )。
弱对角占优矩阵： $$ begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4 end{bmatrix} $$ 第一行满足 ( |3| = |1| + |1| )，其他行严格占优。

4.扩展性质

对称矩阵的特殊性：若严格对角占优矩阵同时是实对称矩阵，且对角线元素均为正，则该矩阵是正定矩阵。
不可约对角占优：若矩阵弱对角占优且至少有一行严格占优，同时不可约（无法通过行列置换转化为分块上三角矩阵），则矩阵仍可逆。

5.应用场景

数值稳定性：在电路分析、结构力学中，对角占优矩阵能避免计算误差的累积。
特征值估计：对角线占优性可用于估计矩阵特征值的范围（如Gershgorin圆定理）。

如果需要具体应用案例或更深入的数学证明，可以参考线性代数或数值分析教材中的相关章节。

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