diagonally dominant是什么意思，diagonally dominant的意思翻译、用法、同义词、例句

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对角占优矩阵（Diagonally Dominant Matrix）是线性代数中的一个重要概念，主要用于描述矩阵中每个对角线元素的绝对值与其所在行其他元素绝对值之关系。以下是详细解释：

1.定义

一个方阵 ( A = [a_{ij}] ) 被称为对角占优矩阵，需满足以下条件之一：

• 严格对角占优：对每一行 ( i )，有
  $$ |a{ii}| > sum{j eq i} |a_{ij}|, $$ 即对角线元素的绝对值严格大于该行其他元素绝对值之和。
• 弱对角占优：对每一行 ( i )，有
  $$ |a{ii}| geq sum{j eq i} |a_{ij}|, $$ 即对角线元素的绝对值大于或等于该行其他元素绝对值之和。

2.数学意义

对角占优矩阵的特性使其在数值分析和工程计算中非常重要：

• 可逆性：严格对角占优矩阵一定是可逆的。
• 迭代法的收敛性：在求解线性方程组 ( Ax = b ) 时（如雅可比迭代法、高斯-赛德尔法），若系数矩阵 ( A ) 严格对角占优，则迭代法保证收敛。

3.示例

• 严格对角占优矩阵： $$ begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 -2 & 5 & 1 0 & 1 & 3 end{bmatrix} $$ 每一行满足 ( |4| > |-1| + |0| )、( |5| > |-2| + |1| )、( |3| > |0| + |1| )。

• 弱对角占优矩阵： $$ begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 4 end{bmatrix} $$ 第一行满足 ( |3| = |1| + |1| )，其他行严格占优。

4.扩展性质

• 对称矩阵的特殊性：若严格对角占优矩阵同时是实对称矩阵，且对角线元素均为正，则该矩阵是正定矩阵。
• 不可约对角占优：若矩阵弱对角占优且至少有一行严格占优，同时不可约（无法通过行列置换转化为分块上三角矩阵），则矩阵仍可逆。

5.应用场景

• 数值稳定性：在电路分析、结构力学中，对角占优矩阵能避免计算误差的累积。
• 特征值估计：对角线占优性可用于估计矩阵特征值的范围（如Gershgorin圆定理）。

如果需要具体应用案例或更深入的数学证明，可以参考线性代数或数值分析教材中的相关章节。

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Diagonally

Diagonally是一个副词，表示以对角线的方式或沿对角线的方向。它可以用来描述移动、摆放或布置物品的方向。

例句：

• The chess piece moved diagonally across the board. (这个棋子沿着对角线在棋盘上移动。)
• The tiles on the floor were laid diagonally for a unique look. (地板上的瓷砖沿着对角线铺设，营造出独特的效果。)

近义词：

斜向地（obliquely）、斜着（askew）

反义词：

横向地（horizontally）、纵向地（vertically）

Dominant

Dominant是一个形容词，表示在某个领域或方面占主导地位或支配地位。它可以用来描述人、事物、观点等。

例句：

• The dominant player on the team always leads them to victory. (球队中的领袖球员总是带领他们赢得胜利。)
• The dominant color in the painting is red. (这幅画中占主导地位的颜色是红色。)

用法：

Dominant也可以作为名词使用，表示在某个群体或组织中处于主导地位的人或事物。

近义词：

主要的（main）、重要的（important）

反义词：

从属的（subordinate）、次要的（secondary）

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