cyclotomy是什麼意思，cyclotomy的意思翻譯、用法、同義詞、例句

詞性

複數 cyclotomies

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例句

專業解析

Cyclotomy（分圓）是一個數學術語，尤其在代數和數論中具有重要意義。其核心含義涉及将圓周等分或與單位圓的根相關。

1. 詞源與基本含義： “Cyclotomy”一詞源于希臘語，由“kyklos”（意為“圓”）和“tomos”（意為“切割”）組合而成，字面意思是“切割圓”或“将圓分割”。在數學的語境下，它特指将單位圓（在複平面上）分割成 n 個等分弧的過程。這些分割點對應于複平面上的 n 次單位根（即滿足方程 z^n = 1 的複數解）。

2. 數學核心：分圓方程與分圓多項式： Cyclotomy 的核心研究對象是分圓方程（Cyclotomic Equation），即 x^n - 1 = 0。這個方程的根是 n 次單位根，記作 ζ_n^k = e^{2πik/n} (k = 0, 1, 2, ..., n-1)。其中，滿足 ζ_n^k 是 n 次本原單位根（即其階為 n，是所有單位根中生成元）的根尤為重要。 由此引出分圓多項式（Cyclotomic Polynomial），記作 Φ_n(x)。它是所有 n 次本原單位根的最小多項式（在有理數域 Q 上），且其次數為歐拉函數 φ(n)。分圓多項式是不可約多項式，在有理數域上無法進一步分解。例如：

   • Φ_1(x) = x - 1
   • Φ_2(x) = x + 1
   • Φ_3(x) = x + x + 1
   • Φ_4(x) = x + 1 這些多項式在理解代數數域的結構中至關重要。

3. 分圓域及其重要性： 由分圓多項式 Φ_n(x) 在有理數域 Q 上添加一個 n 次本原單位根 ζ_n 生成的域擴張 Q(ζ_n)，稱為n 次分圓域（Cyclotomic Field）。這是代數數論中極其重要的一類數域：

   • 伽羅瓦理論：分圓域 Q(ζ_n) 在 Q 上的伽羅瓦群同構于 (Z/nZ)×（模 n 的乘法群），這是一個阿貝爾群。這使得分圓域成為研究阿貝爾擴張的基石，并啟發了類域論的發展。
   • 代數整數環：分圓域 Q(ζ_n) 的代數整數環是 Z[ζ_n]。研究這個環的理想類群、單位群等是代數數論的中心問題之一。
   • 費馬大定理：曆史上，庫默爾在研究費馬大定理時，關鍵一步就是研究了分圓域的理想分解性質，并引入了理想數（理想概念的雛形）和正則素數的概念。

4. 其他領域的應用： 雖然核心在數論，但“cyclotomy”的概念或相關數學工具也出現在其他領域：

   • 組合數學：在特定組合設計（如循環差集）的研究中會用到分圓多項式或分圓域的性質。
   • 密碼學：分圓域的結構性質被用于構造某些公鑰密碼體制或進行密碼分析。
   • 信號處理：雖然較少直接稱為“cyclotomy”，但離散傅裡葉變換（DFT）本質上是在計算單位根處的多項式求值，與分圓方程緊密相關。

Cyclotomy 的核心數學内涵是研究單位根、分圓多項式以及由此産生的分圓域。它是連接多項式理論、域論、伽羅瓦理論和代數數論的橋梁，在數學基礎理論中占有核心地位，并在組合數學、密碼學等領域有重要應用。

來源參考：

1. Encyclopedia of Mathematics - Cyclotomy: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Cyclotomy (權威數學百科全書條目)
2. Weisstein, Eric W. "Cyclotomic Polynomial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource: https://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html (詳細數學定義與性質)
3. Milne, J.S. Algebraic Number Theory. Chapter IV: Cyclotomic Fields. https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf (經典教材章節，深入理論)
4. Lidl, R., Niederreiter, H. Finite Fields. (涉及組合應用). Cambridge University Press. (标準參考書)

網絡擴展資料

cyclotomy 是一個多領域術語，具體含義需結合上下文理解：

1.醫學領域

• 發音：英音 [saɪ'klɒtəmɪ]，美音 [saɪ'klɒtəmɪ]
• 定義：指“睫狀肌（體）切開術”，主要用于治療青光眼等眼部疾病，通過手術切開睫狀肌以調節眼壓。
• 應用：屬于眼科手術範疇，需專業醫生操作。

2.數學領域

• 定義：譯為“分圓法”，研究将圓周等分或單位根性質的數學方法，常用于數論和密碼學中構造特殊序列。
• 公式示例：
  分圓多項式可表示為
  $$ Phin(x) = prod{substack{1 leq k leq ngcd(k,n)=1}} left(x - e^{2pi i k/n}right) $$
  用于分解多項式或生成特定結構。

• 醫學：手術名稱，涉及眼部治療。
• 數學：理論方法，應用于抽象數學問題。
  具體含義需結合領域判斷，建議參考專業詞典或文獻獲取更詳細解釋。

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