convex optimization是什麼意思，convex optimization的意思翻譯、用法、同義詞、例句
常用詞典
凸規劃
例句
The problem is reduced to a linear convex optimization algorithm via LMI approach.
采用線性矩陣不等式方法，将問題轉化為一個線性凸優化算法。
In this thesis, we study two related problems: convex optimization problems and equilibrium problems.
凸優化問題與平衡問題密切相關，本文對這二類問題進行研究。
This paper presents an interior trust region method for linear constrained LC convex optimization problems.
本文提出一種解線性約束凸規劃的數值方法。
Furthermore, a convex optimization problem with LMI constraints is formulated to design the optimal guaranteed cost controllers.
通過求解一個線性矩陣不等式約束的凸優化問題，提出了最優化保性能控制律的設計方法。
The convex optimization algorithm was used to get the minima upper bound of performance cost and parameter of optimal minimax controller.
引入凸優化算法，求解使閉環系統漸近穩定且性能指标上界最小的最優控制器參數。
同義詞
|convex programming;凸規劃
專業解析
凸優化（Convex Optimization）是數學優化的一個重要分支，專注于在凸集上最小化凸函數的問題。其核心特征在于目标函數和約束條件共同構成的可行域是凸的，這保證了該優化問題的任何局部最優解同時也是全局最優解，從而避免了陷入非全局最優的困境。這一特性使得凸優化問題在理論上和計算上都具有良好的可處理性。
1. 核心定義
- 凸集（Convex Set）：一個集合 ( C ) 是凸集，當且僅當對于集合内任意兩點 ( x_1, x_2 in C ) 和任意标量 ( theta )（滿足 ( 0 leq theta leq 1 )），其連線上的所有點也屬于該集合，即：
$$ theta x_1 + (1 - theta) x_2 in C $$
幾何上表現為集合内任意兩點的連線完全包含在集合内部。
- 凸函數（Convex Function）：定義在凸集 ( C ) 上的函數 ( f: C to mathbb{R} ) 是凸函數，當且僅當對于任意兩點 ( x_1, x_2 in C ) 和任意标量 ( theta )（滿足 ( 0 leq theta leq 1 )），滿足以下不等式（Jensen不等式）：
$$ f(theta x_1 + (1 - theta) x_2) leq theta f(x_1) + (1 - theta) f(x_2) $$
幾何上表現為函數圖像上任意兩點間的線段位于圖像上方或之上。
- 凸優化問題（Convex Optimization Problem）：标準形式通常表述為最小化一個凸目标函數 ( f_0(x) )，同時滿足凸不等式約束 ( f_i(x) leq 0 )（其中 ( f_i ) 是凸函數）和仿射等式約束 ( Ax = b )：
$$
begin{aligned}
text{minimize} quad & f_0(x)
text{subject to} quad & f_i(x) leq 0, quad i = 1, dots, m
& Ax = b
end{aligned}
$$
其中可行域（由所有約束定義的點集）必須是凸集。
2. 關鍵性質
- 全局最優性：凸優化問題最核心的優勢在于其局部最優解即是全局最優解。一旦找到滿足特定條件（如梯度為零或滿足KKT條件）的點，即可确信找到了問題在整個可行域上的最佳解。
- 高效可解性：得益于凸性，存在大量高效且可靠的算法（如内點法、梯度下降法、次梯度法、近端梯度法等）可以求解大規模凸優化問題，甚至在多項式時間内找到指定精度的解。
- 對偶性：凸優化問題通常具有強對偶性，意味着原問題（Primal Problem）的最優值與其對偶問題（Dual Problem）的最優值相等。對偶理論不僅提供了最優值的下界，也是許多高效算法（如内點法）的基礎。
3. 主要應用領域
凸優化因其理論完備性和計算高效性，在科學與工程領域有極其廣泛的應用：
- 機器學習與數據科學：支持向量機（SVM）、邏輯回歸、Lasso回歸、矩陣補全、稀疏學習等模型的訓練本質上都是凸優化問題。
- 信號處理：濾波器設計、壓縮感知、信號恢複、波束成形等。
- 自動控制：線性二次調節器（LQR）、模型預測控制（MPC）、魯棒控制中的優化問題。
- 電路設計：器件尺寸優化、功耗最小化、布局布線。
- 金融工程：投資組合優化（在特定模型下）、風險管理。
- 運籌學：網絡流問題、某些類型的資源分配問題。
- 幾何規劃與多項式優化：在特定變換下可轉化為凸優化問題求解。
參考資料
- Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. (标準教材，全面介紹理論與應用) https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/¹
- IEEE Signal Processing Society. (Various). IEEE Transactions on Signal Processing. (期刊，包含大量信號處理中凸優化應用的論文) https://signalprocessingsociety.org/publications-resources/ieee-transactions-signal-processing²
- Weisstein, E. W. (n.d.). Convex Optimization. MathWorld–A Wolfram Web Resource. (權威數學概念參考) https://mathworld.wolfram.com/ConvexOptimization.html³
- INFORMS. (n.d.). Optimization. (運籌學與管理科學協會對優化的介紹，涵蓋凸優化) https://www.informs.org/Explore/Operations-Research-Analytics/Optimization⁴
網絡擴展資料
凸優化（Convex Optimization）是數學優化領域中的一個重要分支，專注于在凸集上最小化或最大化凸函數（或凹函數）的問題。以下是其核心概念和特點的詳細解釋：
1.基本定義
- 凸集（Convex Set）：集合中任意兩點連線上的所有點仍屬于該集合。例如，圓形、直線、平面都是凸集，而星形或月牙形則不是。
- 凸函數（Convex Function）：函數圖像上任意兩點連線不會低于函數曲線。數學上，對于任意 $x_1, x_2$ 和 $lambda in [0,1]$，滿足：
$$
f(lambda x_1 + (1-lambda)x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda)f(x_2)
$$
凹函數則滿足反向不等式。
2.凸優化問題的形式
标準凸優化問題可表示為：
$$
begin{aligned}
&min_{x} quad f(x)
&text{s.t.} quad g_i(x) leq 0, quad i=1,dots,m
&quad quad h_j(x) = 0, quad j=1,dots,p
end{aligned}
$$
其中：
- $f(x)$ 和所有 $g_i(x)$ 是凸函數，
- $h_j(x)$ 是仿射函數（即線性函數加常數）。
3.為什麼凸優化重要？
- 全局最優解保證：任何局部最優解即全局最優解，避免了陷入多個局部最優的複雜性。
- 高效算法：存在多項式時間複雜度的算法（如梯度下降、内點法、對偶方法），可快速求解大規模問題。
- 理論完備性：強對偶性等理論性質簡化了分析和求解。
4.典型應用場景
- 機器學習：支持向量機（SVM）的核函數優化、邏輯回歸的損失函數最小化。
- 信號處理：壓縮感知、濾波器設計。
- 金融工程：投資組合優化（在風險約束下最大化收益）。
- 控制理論：設計魯棒控制器。
5.與非凸優化的區别
非凸優化問題可能存在多個局部最優解，且求解複雜度高（如NP難問題）。而凸優化通過問題轉化（如松弛技術）常能近似解決部分非凸問題。
如果需要更具體的例子（如線性規劃、二次規劃等子類）或算法細節，可以進一步補充說明！
别人正在浏覽的英文單詞...
mightyspitefulcut sth downamount toarrivesconjugalitygainsaidinsupportableJennieminedsurfacedupsidesanion exchangerasbestos cementbond yieldscost leadershipIELTS Preparationleading technologyoral mucosaprediction algorithmstuck onUniversity of CaliforniacutlasserythrasmaforemotherfunambulistgonococcinheelpieceisohedralSCA
