convex function是什麼意思，convex function的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

[數] 凸函數

例句

Convex function is an significant type of function.

凸函數是一類重要的函數。

Convex function plays an important role in mathematical programming.

凸函數在數學規劃中具有十分重要的作用。

The loss functions are convex function and have risk optimize control stra...

證明了損失函數為凸函數，存在風險最優控制策略。

This article emphasizes important application of convex function in inequality proving.

本文着重論述了凸函數在不等式證明中的重要應用。

An application of the quality factor of convex function to chaotic signal analysis was given.

給出了凸函數品質因數在混沌信號分析中的應用實例。

專業解析

凸函數（convex function）是數學優化和經濟學中至關重要的概念，其核心特征是函數圖像上任意兩點間的線段始終位于或高于函數圖像本身。具體定義如下：

定義

設函數 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} ) 的定義域為凸集（即集合内任意兩點的連線仍屬于該集合）。若對定義域内任意兩點 ( mathbf{x}, mathbf{y} ) 和任意标量 ( theta in [0, 1] )，均滿足以下不等式：

$$ f(theta mathbf{x} + (1-theta) mathbf{y}) leq theta f(mathbf{x}) + (1-theta) f(mathbf{y}) $$

則稱 ( f ) 為凸函數。該條件稱為Jensen不等式，幾何上表示連接點 ( (mathbf{x}, f(mathbf{x})) ) 和 ( (mathbf{y}, f(mathbf{y})) ) 的線段始終位于函數圖像上方。

關鍵性質

局部極小即全局極小：凸函數的局部最小值點一定是全局最小值點，這一特性使優化問題有确定解。
二階條件（可微時）：若函數二階可微，其Hessian矩陣（二階導數矩陣）需半正定，即對所有 ( mathbf{x} ) 滿足 ( abla f(mathbf{x}) succeq 0 )。
一階條件（可微時）：函數圖像始終在其任意一點的切線上方，即 ( f(mathbf{y}) geq f(mathbf{x}) + abla f(mathbf{x})^T (mathbf{y}-mathbf{x}) )。

常見例子

線性函數：( f(x) = ax + b )
二次函數：( f(x) = x )（Hessian為常數2 > 0）
指數函數：( f(x) = e^{ax} )（( a in mathbb{R} )）
負熵：( f(x) = x log x )（定義域 ( x > 0 )）

應用領域

凸函數在機器學習（損失函數設計）、運籌學（成本最小化）、信號處理（濾波器設計）及經濟學（效用函數建模）中廣泛應用，因其良好的數學性質能保證高效算法求得全局最優解。

來源說明：定義及性質參考斯坦福大學Stephen Boyd與Lieven Vandenberghe合著的經典教材《Convex Optimization》（劍橋大學出版社，2004）。該書被廣泛視為凸優化領域的權威文獻，鍊接為：https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

網絡擴展資料

凸函數（convex function）是數學中描述函數形狀和性質的重要概念，尤其在優化、經濟學和機器學習領域應用廣泛。以下是詳細解釋：

1. 定義

若函數 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} ) 滿足以下條件，則稱為凸函數：
對于定義域内任意兩點 ( x_1, x_2 ) 和任意 ( lambda in [0,1] )，有
$$ f(lambda x_1 + (1-lambda) x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda) f(x_2). $$
幾何意義：函數圖像上任意兩點間的線段始終位于圖像上方（或重合），形如“碗狀”（如抛物線開口向上）。

2. 判定條件

一階條件（可導函數）：
若 ( f ) 可導，則凸性等價于：
$$ f(y) geq f(x) + abla f(x)^top (y - x), quad forall x, y in text{定義域}. $$
即函數在其切線（或超平面）之上。
二階條件（二階可導函數）：
若 ( f ) 二階可導，則凸性等價于其Hessian矩陣半正定。
例如：單變量函數 ( f(x) = x ) 的二階導數 ( f''(x) = 2 geq 0 )，故為凸函數。

3. 重要性質

極值特性：凸函數的局部極小值即全局極小值，這一性質在優化問題中至關重要。
Jensen不等式：對凸函數 ( f )，有
$$ fleft( sum_{i=1}^n lambda_i xi right) leq sum{i=1}^n lambda_i f(x_i), $$
其中 ( lambda_i geq 0 ) 且 ( sum lambda_i = 1 )。

4. 常見例子

單變量函數：
( f(x) = x )、( f(x) = e^x )、( f(x) = |x| )（絕對值函數在原點處不可導，但整體仍為凸函數）。
多變量函數：
( f(x) = |x|_2 )（歐幾裡得範數平方）、線性函數 ( f(x) = a^top x + b )。

5. 應用

優化問題：凸函數的最小化問題容易求解（如梯度下降法）。
經濟學：用于描述成本函數、效用函數的凸性。
機器學習：損失函數（如平方損失）常設計為凸函數以保證收斂性。

凸函數通過其幾何特性和數學條件，為分析函數行為、設計優化算法提供了理論基礎。其核心是“兩點間線性插值的函數值不超過函數值的線性插值”。

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