convex function是什么意思，convex function的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 凸函数

例句

Convex function is an significant type of function.

凸函数是一类重要的函数。

Convex function plays an important role in mathematical programming.

凸函数在数学规划中具有十分重要的作用。

The loss functions are convex function and have risk optimize control stra...

证明了损失函数为凸函数，存在风险最优控制策略。

This article emphasizes important application of convex function in inequality proving.

本文着重论述了凸函数在不等式证明中的重要应用。

An application of the quality factor of convex function to chaotic signal analysis was given.

给出了凸函数品质因数在混沌信号分析中的应用实例。

专业解析

凸函数（convex function）是数学优化和经济学中至关重要的概念，其核心特征是函数图像上任意两点间的线段始终位于或高于函数图像本身。具体定义如下：

定义

设函数 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} ) 的定义域为凸集（即集合内任意两点的连线仍属于该集合）。若对定义域内任意两点 ( mathbf{x}, mathbf{y} ) 和任意标量 ( theta in [0, 1] )，均满足以下不等式：

$$ f(theta mathbf{x} + (1-theta) mathbf{y}) leq theta f(mathbf{x}) + (1-theta) f(mathbf{y}) $$

则称 ( f ) 为凸函数。该条件称为Jensen不等式，几何上表示连接点 ( (mathbf{x}, f(mathbf{x})) ) 和 ( (mathbf{y}, f(mathbf{y})) ) 的线段始终位于函数图像上方。

关键性质

局部极小即全局极小：凸函数的局部最小值点一定是全局最小值点，这一特性使优化问题有确定解。
二阶条件（可微时）：若函数二阶可微，其Hessian矩阵（二阶导数矩阵）需半正定，即对所有 ( mathbf{x} ) 满足 ( abla f(mathbf{x}) succeq 0 )。
一阶条件（可微时）：函数图像始终在其任意一点的切线上方，即 ( f(mathbf{y}) geq f(mathbf{x}) + abla f(mathbf{x})^T (mathbf{y}-mathbf{x}) )。

常见例子

线性函数：( f(x) = ax + b )
二次函数：( f(x) = x )（Hessian为常数2 > 0）
指数函数：( f(x) = e^{ax} )（( a in mathbb{R} )）
负熵：( f(x) = x log x )（定义域 ( x > 0 )）

应用领域

凸函数在机器学习（损失函数设计）、运筹学（成本最小化）、信号处理（滤波器设计）及经济学（效用函数建模）中广泛应用，因其良好的数学性质能保证高效算法求得全局最优解。

来源说明：定义及性质参考斯坦福大学Stephen Boyd与Lieven Vandenberghe合著的经典教材《Convex Optimization》（剑桥大学出版社，2004）。该书被广泛视为凸优化领域的权威文献，链接为：https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

网络扩展资料

凸函数（convex function）是数学中描述函数形状和性质的重要概念，尤其在优化、经济学和机器学习领域应用广泛。以下是详细解释：

1. 定义

若函数 ( f: mathbb{R}^n to mathbb{R} ) 满足以下条件，则称为凸函数：
对于定义域内任意两点 ( x_1, x_2 ) 和任意 ( lambda in [0,1] )，有
$$ f(lambda x_1 + (1-lambda) x_2) leq lambda f(x_1) + (1-lambda) f(x_2). $$
几何意义：函数图像上任意两点间的线段始终位于图像上方（或重合），形如“碗状”（如抛物线开口向上）。

2. 判定条件

一阶条件（可导函数）：
若 ( f ) 可导，则凸性等价于：
$$ f(y) geq f(x) + abla f(x)^top (y - x), quad forall x, y in text{定义域}. $$
即函数在其切线（或超平面）之上。
二阶条件（二阶可导函数）：
若 ( f ) 二阶可导，则凸性等价于其Hessian矩阵半正定。
例如：单变量函数 ( f(x) = x ) 的二阶导数 ( f''(x) = 2 geq 0 )，故为凸函数。

3. 重要性质

极值特性：凸函数的局部极小值即全局极小值，这一性质在优化问题中至关重要。
Jensen不等式：对凸函数 ( f )，有
$$ fleft( sum_{i=1}^n lambda_i xi right) leq sum{i=1}^n lambda_i f(x_i), $$
其中 ( lambda_i geq 0 ) 且 ( sum lambda_i = 1 )。

4. 常见例子

单变量函数：
( f(x) = x )、( f(x) = e^x )、( f(x) = |x| )（绝对值函数在原点处不可导，但整体仍为凸函数）。
多变量函数：
( f(x) = |x|_2 )（欧几里得范数平方）、线性函数 ( f(x) = a^top x + b )。

5. 应用

优化问题：凸函数的最小化问题容易求解（如梯度下降法）。
经济学：用于描述成本函数、效用函数的凸性。
机器学习：损失函数（如平方损失）常设计为凸函数以保证收敛性。

凸函数通过其几何特性和数学条件，为分析函数行为、设计优化算法提供了理论基础。其核心是“两点间线性插值的函数值不超过函数值的线性插值”。

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