complete metric space是什麼意思，complete metric space的意思翻譯、用法、同義詞、例句

常用詞典

[數] 完備度量空間

例句

In the paper, We have obtain the existence and the theorems for approximations couple fixed point of semi compact nonexpansive mappings in complete metric space.

在完備度量空間獲得了半緊非擴張映象的近似耦合不動點的存在性和耦合不動點的逼近定理。

Does research in a common fixed point theorem of fuzzy mappings in inequality conditions and the cut set is the nonempty closed bounded subsets of, while is complete metric space.

研究了在完備度量空間中一對模糊映象滿足一些特定不等式條件，以及當其截集是中非空有界閉集時，該對模糊映象的公共不動點的存在性問題。

In this paper, we will give a new type of fixed point theorem for non - self - mapping in a complete metrically convex metric space.

本文給出在完備度量凸空間上非自映射的一類新的不動點定理。

The sufficient and necessary conditions of two single-valued mapping and a set-valued mapping with the only common fixed point in complete metric space are discussed.

研究了完備度量空間中兩個單值映象和一個集值映象有唯一公共不動點的充要條件，改進了已有文獻的有關結果。

In finite dimensional space form a bounded open domain, we study some open convex subsets and its topology, then give a complete metric space.

考慮了在有限維空間中包含在某一有界開區域中的所有有界開凸子集所成空間上的拓撲，給出了一個相關的完備的度量空間。

A new fixed point theorem for non-self-mapping on a complete metrically convex metric space is given.

給出了完備度量凸空間上非自映射的一個新的不動點定理。

專業解析

在數學分析中，"完備度量空間"（complete metric space）是指滿足所有柯西序列都收斂于該空間内部點的度量空間。這一概念由三個核心要素構成：

度量空間
度量空間是一個集合 ( X ) 與定義在其上的度量函數 ( d: X times X to mathbb{R} )，滿足非負性、對稱性和三角不等式。例如，實數集 ( mathbb{R} ) 賦予絕對值距離 ( d(x,y) = |x - y| ) 構成度量空間（來源：Weisstein, E. W. Metric Space. MathWorld）。
柯西序列與收斂性
柯西序列是指序列中元素的距離隨着項數增加而趨近于零。在度量空間中，若每個柯西序列都存在極限點且該點屬于原空間，則稱該空間為完備的。例如，有理數集 ( mathbb{Q} ) 在絕對值度量下不完備，因為存在柯西序列收斂于無理數（來源：Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis）。
典型例子與應用
- 實數空間 ( mathbb{R}^n ) 是完備度量空間的經典範例。
- 閉區間上的連續函數空間 ( C[a,b] ) 賦予上确界度量 ( d(f,g) = sup_{x in [a,b]} |f(x) - g(x)| ) 也是完備的。
- 完備性在泛函分析中至關重要，例如巴拿赫不動點定理的成立依賴于空間的完備性（來源：Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis）。

網絡擴展資料

在數學中，完備度量空間（complete metric space）是度量空間的一種重要類型，其核心特征是“所有柯西序列都在該空間内收斂”。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

度量空間（metric space）：由一個集合 ( X ) 和一個距離函數 ( d: X times X to mathbb{R} ) 構成，滿足非負性、對稱性和三角不等式。
柯西序列（Cauchy sequence）：對于序列 ( {x_n} )，若對任意 ( epsilon > 0 )，存在正整數 ( N )，使得當 ( m, n > N ) 時 ( d(x_m, x_n) < epsilon )，則稱此序列為柯西序列。
完備性（completeness）：如果度量空間 ( (X, d) ) 中的每一個柯西序列都收斂于 ( X ) 内的某個點，則稱該空間是完備的。

2. 關鍵性質

收斂 vs 柯西性：在完備空間中，收斂序列一定是柯西序列，反之也成立；但在非完備空間中，可能存在柯西序列不收斂（如有理數集中的序列趨近于無理數）。
閉集與完備性：完備空間的任何閉子集本身也是完備的。

3. 經典例子

實數空間 ( mathbb{R} )
在标準絕對值距離 ( d(x, y) = |x - y| ) 下是完備的。
歐幾裡得空間 ( mathbb{R}^n )
每個坐标分量的柯西性保證整體收斂。
連續函數空間 ( C([a, b]) )
使用上确界範數 ( |f - g| = sup_{x in [a,b]} |f(x) - g(x)| ) 時是完備的（即 Banach 空間）。

4. 不完備空間的例子

有理數空間 ( mathbb{Q} )
存在柯西序列收斂到無理數（如 ( sqrt{2} ) 的十進制逼近），但極限不在 ( mathbb{Q} ) 内。
開區間 ( (0, 1) )
序列 ( {1/n} ) 是柯西序列，但極限 ( 0 ) 不屬于該區間。

5. 完備化（Completion）

任何度量空間都可以通過添加“缺失的極限點”擴展為完備空間。例如：

( mathbb{Q} ) 的完備化是 ( mathbb{R} )；
( C([a, b]) ) 的完備化是勒貝格可積函數空間 ( L^p )。

6. 應用意義

完備性是分析學中許多定理的基礎，例如：

巴拿赫不動點定理：完備度量空間中的壓縮映射有唯一不動點。
函數空間的理論：用于研究微分方程和傅裡葉分析。

總結來說，完備度量空間通過确保柯西序列的收斂性，為分析數學提供了堅實的框架，尤其在證明存在性和唯一性時至關重要。

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