complete metric space是什么意思，complete metric space的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 完备度量空间

例句

In the paper, We have obtain the existence and the theorems for approximations couple fixed point of semi compact nonexpansive mappings in complete metric space.

在完备度量空间获得了半紧非扩张映象的近似耦合不动点的存在性和耦合不动点的逼近定理。

Does research in a common fixed point theorem of fuzzy mappings in inequality conditions and the cut set is the nonempty closed bounded subsets of, while is complete metric space.

研究了在完备度量空间中一对模糊映象满足一些特定不等式条件，以及当其截集是中非空有界闭集时，该对模糊映象的公共不动点的存在性问题。

In this paper, we will give a new type of fixed point theorem for non - self - mapping in a complete metrically convex metric space.

本文给出在完备度量凸空间上非自映射的一类新的不动点定理。

The sufficient and necessary conditions of two single-valued mapping and a set-valued mapping with the only common fixed point in complete metric space are discussed.

研究了完备度量空间中两个单值映象和一个集值映象有唯一公共不动点的充要条件，改进了已有文献的有关结果。

In finite dimensional space form a bounded open domain, we study some open convex subsets and its topology, then give a complete metric space.

考虑了在有限维空间中包含在某一有界开区域中的所有有界开凸子集所成空间上的拓扑，给出了一个相关的完备的度量空间。

A new fixed point theorem for non-self-mapping on a complete metrically convex metric space is given.

给出了完备度量凸空间上非自映射的一个新的不动点定理。

专业解析

在数学分析中，"完备度量空间"（complete metric space）是指满足所有柯西序列都收敛于该空间内部点的度量空间。这一概念由三个核心要素构成：

度量空间
度量空间是一个集合 ( X ) 与定义在其上的度量函数 ( d: X times X to mathbb{R} )，满足非负性、对称性和三角不等式。例如，实数集 ( mathbb{R} ) 赋予绝对值距离 ( d(x,y) = |x - y| ) 构成度量空间（来源：Weisstein, E. W. Metric Space. MathWorld）。
柯西序列与收敛性
柯西序列是指序列中元素的距离随着项数增加而趋近于零。在度量空间中，若每个柯西序列都存在极限点且该点属于原空间，则称该空间为完备的。例如，有理数集 ( mathbb{Q} ) 在绝对值度量下不完备，因为存在柯西序列收敛于无理数（来源：Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis）。
典型例子与应用
- 实数空间 ( mathbb{R}^n ) 是完备度量空间的经典范例。
- 闭区间上的连续函数空间 ( C[a,b] ) 赋予上确界度量 ( d(f,g) = sup_{x in [a,b]} |f(x) - g(x)| ) 也是完备的。
- 完备性在泛函分析中至关重要，例如巴拿赫不动点定理的成立依赖于空间的完备性（来源：Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis）。

网络扩展资料

在数学中，完备度量空间（complete metric space）是度量空间的一种重要类型，其核心特征是“所有柯西序列都在该空间内收敛”。以下是详细解释：

1. 基本定义

度量空间（metric space）：由一个集合 ( X ) 和一个距离函数 ( d: X times X to mathbb{R} ) 构成，满足非负性、对称性和三角不等式。
柯西序列（Cauchy sequence）：对于序列 ( {x_n} )，若对任意 ( epsilon > 0 )，存在正整数 ( N )，使得当 ( m, n > N ) 时 ( d(x_m, x_n) < epsilon )，则称此序列为柯西序列。
完备性（completeness）：如果度量空间 ( (X, d) ) 中的每一个柯西序列都收敛于 ( X ) 内的某个点，则称该空间是完备的。

2. 关键性质

收敛 vs 柯西性：在完备空间中，收敛序列一定是柯西序列，反之也成立；但在非完备空间中，可能存在柯西序列不收敛（如有理数集中的序列趋近于无理数）。
闭集与完备性：完备空间的任何闭子集本身也是完备的。

3. 经典例子

实数空间 ( mathbb{R} )
在标准绝对值距离 ( d(x, y) = |x - y| ) 下是完备的。
欧几里得空间 ( mathbb{R}^n )
每个坐标分量的柯西性保证整体收敛。
连续函数空间 ( C([a, b]) )
使用上确界范数 ( |f - g| = sup_{x in [a,b]} |f(x) - g(x)| ) 时是完备的（即 Banach 空间）。

4. 不完备空间的例子

有理数空间 ( mathbb{Q} )
存在柯西序列收敛到无理数（如 ( sqrt{2} ) 的十进制逼近），但极限不在 ( mathbb{Q} ) 内。
开区间 ( (0, 1) )
序列 ( {1/n} ) 是柯西序列，但极限 ( 0 ) 不属于该区间。

5. 完备化（Completion）

任何度量空间都可以通过添加“缺失的极限点”扩展为完备空间。例如：

( mathbb{Q} ) 的完备化是 ( mathbb{R} )；
( C([a, b]) ) 的完备化是勒贝格可积函数空间 ( L^p )。

6. 应用意义

完备性是分析学中许多定理的基础，例如：

巴拿赫不动点定理：完备度量空间中的压缩映射有唯一不动点。
函数空间的理论：用于研究微分方程和傅里叶分析。

总结来说，完备度量空间通过确保柯西序列的收敛性，为分析数学提供了坚实的框架，尤其在证明存在性和唯一性时至关重要。

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