antisymmetrical是什麼意思，antisymmetrical的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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"antisymmetrical"（反對稱的）是一個在數學和物理學中非常重要的概念，它描述的是對象（如矩陣、張量或關系）在交換其兩個組成部分（如索引、元素或變量）時，其值會改變符號（正變負或負變正）的特性。

1. 核心數學定義（線性代數/張量分析）： 一個對象（最常見的是矩陣或張量）是反對稱的，如果交換它的兩個索引（或坐标）後，該分量等于其原始值的相反數。 更精确地說：

   • 對于一個矩陣A，如果其元素滿足對于所有的 i 和 j：a_ij = -a_ji，則該矩陣是反對稱的。
   • 這意味着矩陣的主對角線上的所有元素必須為零（因為當 i = j 時，a_ii = -a_ii 意味着 a_ii = 0）。
   • 主對角線兩側的元素互為相反數，即 a_ij 和 a_ji 大小相等但符號相反。
   • 例如，以下矩陣是反對稱的：

     |0 2 -1 |
     | -2 04 |
     |1-40 |

     這個定義是線性代數和張量分析中的标準内容。

2. 物理學中的實例（電磁學）： 在物理學中，反對稱性扮演着關鍵角色。一個著名的例子是電磁場張量 (F_μν)。這是一個4x4的反對稱二階張量，用于描述電磁場（電場和磁場）在時空中的分布。其反對稱性（F_μν = -F_νμ）是電磁理論的基本屬性之一，直接關聯到麥克斯韋方程組的結構。電磁場張量的反對稱性是其定義的核心特征。

3. 與對稱性的區别： 反對稱性與對稱性形成對比。一個對稱矩陣滿足 a_ij = a_ji。反對稱性要求元素在交換索引後取負值，而對稱性要求保持不變。兩者都是描述對象在特定變換（交換）下行為的重要性質。

4. 微分形式中的應用： 在微分幾何中，微分形式是定義在流形上的幾何對象。一個關鍵的要點是：外微分形式本質上是反對稱的。例如，一個二階微分形式在交換其兩個輸入向量時會改變符號（ω(v, w) = -ω(w, v)）。這種反對稱性是定義外積和外微分運算的基礎，使得微分形式成為處理積分（如斯托克斯定理）和描述物理定律（如廣義相對論、規範場論）的強大工具。微分形式的反對稱性是其代數結構的基石。

5. 關系理論中的定義： 在離散數學和集合論中，一個二元關系 R 定義在集合 S 上，如果滿足：對于 S 中所有的元素 a 和 b，若 aRb 成立，則 bRa 必然不成立（除非 a = b）。更形式化地：如果 aRb 且 a ≠ b，則 bRa 不成立。或者說：如果 aRb 且 bRa，則必然有 a = b。常見的例子是“大于”關系（>）：如果 a > b 且 a ≠ b，則 b > a 不可能成立。關系的反對稱性是序理論（如偏序關系）中的一個關鍵性質。

“Antisymmetrical”描述的是一種在交換操作下産生符號反轉的數學或物理屬性。它在矩陣理論（反對稱矩陣）、張量分析（如電磁場張量）、微分幾何（微分形式）以及關系理論中都有核心應用，是理解這些領域内許多結構和定律的基礎特性。

網絡擴展資料

“Antisymmetrical”（或拼寫為antisymmetric）是一個數學、物理學及工程學中常用的形容詞，意為“反對稱的”。其核心含義是：當一個系統或對象在某種變換（如對稱軸反射、變量交換等）後，表現出與原狀态相反的特性，但整體仍遵循某種對稱規則。以下是詳細解釋：

1. 基本定義

• 反對稱性：指兩個變量或元素在交換位置後，結果與原始狀态成相反數關系。例如，若函數滿足 $f(x, y) = -f(y, x)$，則稱其為反對稱函數。
• 與對稱性的區别：對稱性要求變換後保持不變（如 $f(x, y) = f(y, x)$），而反對稱性要求變換後符號相反。

2. 應用領域

• 數學：
  • 在矩陣理論中，若矩陣滿足 $A{ij} = -A{ji}$，則稱為反對稱矩陣（如）。
  • 張量分析中，反對稱張量的分量在指标交換時會改變符號。
• 量子力學：
  • 電子波函數需滿足反對稱性（如斯萊特行列式），即交換兩個電子坐标會導緻波函數變號（）。
• 工程學：
  • 結構力學中，荷載或變形可能呈現反對稱分布（如橋梁的反對稱荷載，）。

3. 實例說明

• 例句（來自）：

  “結構是對稱的，而節點位移表示反對稱荷載。”
  此處指荷載分布雖對稱，但位移方向相反。

• 數學公式：
  若函數 $f(x, y)$ 反對稱，則滿足：
  $$ f(x, y) = -f(y, x) $$

4. 常見搭配

• 反對稱函數（antisymmetrical function）
• 反對稱荷載（antisymmetrical load）
• 反對稱波函數（antisymmetrical wave function）

5. 注意點

• 拼寫變體：雖然“antisymmetrical”更強調完全反對稱狀态，但在數學文獻中常簡化為“antisymmetric”（）。
• 與“非對稱”的區别：非對稱（asymmetric）僅表示無對稱性，而反對稱是特殊對稱形式。

如需進一步了解具體領域（如量子力學中的費米子波函數），可參考中的斯萊特行列式描述。

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