adjugate是什麼意思，adjugate的意思翻譯、用法、同義詞、例句

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在數學的線性代數領域中，adjugate（中文譯為“伴隨矩陣”或“轉置伴隨矩陣”）是一個與方陣相關的重要概念。其定義為：對于一個( n times n )的方陣( A )，其伴隨矩陣( operatorname{adj}(A) )是該矩陣的餘因子矩陣的轉置矩陣。具體來說，餘因子矩陣的每個元素( C_{ij} )是矩陣( A )删去第( i )行和第( j )列後的子矩陣的行列式乘以( (-1)^{i+j} )，再将所有餘因子按轉置排列即得到伴隨矩陣。

伴隨矩陣的核心應用之一是計算矩陣的逆矩陣。當( A )可逆時，其逆矩陣可通過公式

$$

A^{-1} = frac{1}{det(A)} operatorname{adj}(A)

$$

求得。這一關系在理論推導和數值計算中均有重要意義，例如在求解線性方程組或分析線性變換性質時。

曆史上，“adjugate”一詞曾被稱為“adjoint”，但現代術語中“adjoint”更多指代伴隨算子或厄米特伴隨矩陣，因此“adjugate”成為更明确的表述。這一術語的演變反映了數學概念的精細化發展。

參考來源：

1. MathWorld: Adjugate Matrix
2. Encyclopedia of Mathematics: Adjugate
3. MIT OpenCourseWare: Linear Algebra

網絡擴展資料

以下是關于adjugate 的詳細解釋：

1. 發音與基本含義

• 發音：英式音标為 ['ædʒʌgeɪt]，美式音标為 ['ædʒʌgeɪt]。
• 詞性：名詞（n.）
• 中文翻譯：伴隨矩陣（數學術語），也可譯為“共轭”（需注意與“共轭轉置矩陣”區分）。

2. 數學定義

線上性代數中，adjugate（伴隨矩陣）指一個方陣的代數餘子式矩陣的轉置。具體來說：

• 若 ( A ) 是 ( n times n ) 的方陣，其伴隨矩陣記為 ( text{adj}(A) )。
• 伴隨矩陣的元素由 ( A ) 的每個元素的代數餘子式構成，再經過轉置得到。

3. 核心應用

伴隨矩陣的主要用途包括：

• 求逆矩陣：當 ( A ) 可逆時，( A^{-1} = frac{1}{det(A)} text{adj}(A) )。
• 解線性方程組：通過克萊姆法則（Cramer's Rule）與伴隨矩陣關聯。
• 矩陣秩的關系：若原矩陣 ( A ) 的秩為 ( r )，則伴隨矩陣的秩滿足：
  • ( text{rank}(text{adj}(A)) = n )（當 ( r = n )）；
  • ( text{rank}(text{adj}(A)) = 1 )（當 ( r = n-1 )）；
  • ( text{rank}(text{adj}(A)) = 0 )（當 ( r < n-1 )）。

4. 注意區分

• 共轭轉置矩陣（Conjugate Transpose）：符號可能同為 ( A^* )，但含義不同（涉及複數共轭和轉置），需結合上下文判斷。
• 經典伴隨矩陣（Classical Adjoint）：即 adjugate 的另一種稱呼，強調代數餘子式轉置的定義。

Adjugate 是線性代數中與矩陣求逆和行列式相關的重要概念，其核心在于代數餘子式的轉置運算。實際應用中需注意符號和術語的差異，避免混淆。

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