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abelian英标

英:/'ə'biːlɪən/ 美:/'əˈbiːljən/

常用詞典

n. （美）艾伯立讓（人名）

adj. (abelian) （群）交換的

例句

By, we prove that a separative Abelian regular ring is an APT ring.

由，還證明了分離的阿貝爾正則環是APT環。

The ellipse rotating symmetric group is proposed, which is an Abelian group.

提出橢圓旋轉對稱群，它是一個單參數阿貝爾群。

In this paper, the finite non-nilpotent group with every non-abelian subgroup being subnormal is investigated.

研究了每一非交換子群皆為次正規的有限非幂零群的結構。

Let R be an abelian ring ( all idempotents of R lie in the center of R), and A be an idempotent matrix over R.

設R是一阿貝爾環（R的所有幂等元都在中心裡），A是R上的一幂等陣。

For the latter, we obtain the linear estimation of the number of isolated zeros of the corresponding Abelian integral.

對于另一類得到了其相應的阿貝爾積分的孤立零點的估計。

常用搭配

abelian group

阿貝爾群；[數]交換群

同義詞

adj.|exchanged/commutative;阿貝爾的，交換的（阿貝爾是挪威數學家）

專業解析

在數學中，阿貝爾群（Abelian Group） 是指滿足交換律的群。具體來說，對于一個群 ((G, cdot))（其中 (G) 是集合，(cdot) 是二元運算），若其運算滿足以下條件，則稱為阿貝爾群：

$$

forall a, b in G, quad a cdot b = b cdot a

$$

核心特征

1. 交換性（Commutativity）

   群中任意兩個元素 (a) 和 (b) 的運算結果與順序無關，即 (a cdot b = b cdot a)。這是阿貝爾群與非阿貝爾群的根本區别。

2. 繼承群的性質

   阿貝爾群首先是一個群，因此需滿足：

   • 封閉性：(forall a,b in G, , a cdot b in G)
   • 結合律：(forall a,b,c in G, , (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))
   • 單位元存在：(exists e in G, , forall a in G, , a cdot e = e cdot a = a)
   • 逆元存在：(forall a in G, , exists b in G, , a cdot b = b cdot a = e)

命名來源

術語“阿貝爾”源于挪威數學家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel）。他在研究五次方程不可解性問題時，首次系統性地使用了交換群的性質，尤其是在橢圓函數理論中的貢獻。

典型例子

• 整數加法群 ((mathbb{Z}, +))：任意整數相加滿足交換律（如 (3+5=5+3)）。
• 模 (n) 整數群 ((mathbb{Z}/nmathbb{Z}, +))：模運算下的加法群（如模 (4) 下 (2+3 equiv 1 equiv 3+2)）。
• 實數乘法群 ((mathbb{R}^*, times))：非零實數乘法（如 (2 times 3 = 3 times 2)），但需排除零（因零無乘法逆元）。

重要性質

• 循環群必為阿貝爾群：若群由單個元素生成（如 (langle g rangle = {g^n mid n in mathbb{Z}})），則其運算必然可交換。
• 阿貝爾群的子群均為正規子群：因交換性保證了左右陪集相等，簡化了群結構的分析。
• 同調代數中的基礎作用：阿貝爾群範疇是研究模論與同調代數的起點，例如鍊複形的理論構建于此。

應用領域

阿貝爾群是代數學的核心概念，廣泛應用于：

• 數論：理想類群、戴德金域的結構分析。
• 代數拓撲：同調群（如奇異同調群）的定義依賴阿貝爾群性質。
• 密碼學：橢圓曲線密碼學（ECC）基于橢圓曲線上的阿貝爾群運算。

參考資料

1. 《代數學原理》（Algebra: Chapter 0） - Paolo Aluffi

   詳細讨論阿貝爾群在範疇論中的角色（ISBN 978-1470465716）。

2. Encyclopedia of Mathematics - Springer

   Abelian Group 條目（權威數學百科）。

3. MathWorld - Wolfram Research

   Abelian Group 定義與性質（數學資源庫）。

網絡擴展資料

Abelian（阿貝爾）是數學術語，主要用于描述具有交換律性質的代數結構，其核心含義和用法如下：

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1.基本定義

Abelian 指代數學中滿足交換律的群或結構。例如，一個群 ( G ) 若滿足對任意元素 ( a, b in G ) 都有 ( a cdot b = b cdot a )，則稱為阿貝爾群（Abelian group）。常見的例子包括整數集合在加法運算下構成的群。

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2.詞源與背景

該詞源自挪威數學家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel），他在19世紀對群論和代數方程理論做出了重要貢獻。數學中多個以他命名的概念（如阿貝爾定理、阿貝爾積分）均與交換性相關。

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3.數學應用領域

• 群論：阿貝爾群是群論的基礎，廣泛用于代數結構分析。
• 代數數論：局部域的有限阿貝爾擴張研究（如判别式與導子的計算）。
• 抽象代數：在環、域等其他代數結構中，若運算滿足交換律，也可能稱為“阿貝爾的”。

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4.擴展概念

• 非阿貝爾群：不滿足交換律的群（如矩陣乘法群）。
• 阿貝爾範疇：一種滿足特定公理的範疇，常見于同調代數。

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Abelian 的核心意義是“交換性”，強調運算順序不影響結果。它在數學中既是基本性質，也是研究複雜結構的工具。如需更深入的技術定義或定理，可參考群論或抽象代數教材。

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