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abelian英标

英:/'ə'biːlɪən/ 美:/'əˈbiːljən/

常用词典

n. （美）艾伯立让（人名）

adj. (abelian) （群）交换的

例句

By, we prove that a separative Abelian regular ring is an APT ring.

由，还证明了分离的阿贝尔正则环是APT环。

The ellipse rotating symmetric group is proposed, which is an Abelian group.

提出椭圆旋转对称群，它是一个单参数阿贝尔群。

In this paper, the finite non-nilpotent group with every non-abelian subgroup being subnormal is investigated.

研究了每一非交换子群皆为次正规的有限非幂零群的结构。

Let R be an abelian ring ( all idempotents of R lie in the center of R), and A be an idempotent matrix over R.

设R是一阿贝尔环（R的所有幂等元都在中心里），A是R上的一幂等阵。

For the latter, we obtain the linear estimation of the number of isolated zeros of the corresponding Abelian integral.

对于另一类得到了其相应的阿贝尔积分的孤立零点的估计。

常用搭配

abelian group

阿贝尔群；[数]交换群

同义词

adj.|exchanged/commutative;阿贝尔的，交换的（阿贝尔是挪威数学家）

专业解析

在数学中，阿贝尔群（Abelian Group） 是指满足交换律的群。具体来说，对于一个群 ((G, cdot))（其中 (G) 是集合，(cdot) 是二元运算），若其运算满足以下条件，则称为阿贝尔群：

$$

forall a, b in G, quad a cdot b = b cdot a

$$

核心特征

1. 交换性（Commutativity）

   群中任意两个元素 (a) 和 (b) 的运算结果与顺序无关，即 (a cdot b = b cdot a)。这是阿贝尔群与非阿贝尔群的根本区别。

2. 继承群的性质

   阿贝尔群首先是一个群，因此需满足：

   • 封闭性：(forall a,b in G, , a cdot b in G)
   • 结合律：(forall a,b,c in G, , (a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))
   • 单位元存在：(exists e in G, , forall a in G, , a cdot e = e cdot a = a)
   • 逆元存在：(forall a in G, , exists b in G, , a cdot b = b cdot a = e)

命名来源

术语“阿贝尔”源于挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Henrik Abel）。他在研究五次方程不可解性问题时，首次系统性地使用了交换群的性质，尤其是在椭圆函数理论中的贡献。

典型例子

• 整数加法群 ((mathbb{Z}, +))：任意整数相加满足交换律（如 (3+5=5+3)）。
• 模 (n) 整数群 ((mathbb{Z}/nmathbb{Z}, +))：模运算下的加法群（如模 (4) 下 (2+3 equiv 1 equiv 3+2)）。
• 实数乘法群 ((mathbb{R}^*, times))：非零实数乘法（如 (2 times 3 = 3 times 2)），但需排除零（因零无乘法逆元）。

重要性质

• 循环群必为阿贝尔群：若群由单个元素生成（如 (langle g rangle = {g^n mid n in mathbb{Z}})），则其运算必然可交换。
• 阿贝尔群的子群均为正规子群：因交换性保证了左右陪集相等，简化了群结构的分析。
• 同调代数中的基础作用：阿贝尔群范畴是研究模论与同调代数的起点，例如链复形的理论构建于此。

应用领域

阿贝尔群是代数学的核心概念，广泛应用于：

• 数论：理想类群、戴德金域的结构分析。
• 代数拓扑：同调群（如奇异同调群）的定义依赖阿贝尔群性质。
• 密码学：椭圆曲线密码学（ECC）基于椭圆曲线上的阿贝尔群运算。

参考资料

1. 《代数学原理》（Algebra: Chapter 0） - Paolo Aluffi

   详细讨论阿贝尔群在范畴论中的角色（ISBN 978-1470465716）。

2. Encyclopedia of Mathematics - Springer

   Abelian Group 条目（权威数学百科）。

3. MathWorld - Wolfram Research

   Abelian Group 定义与性质（数学资源库）。

网络扩展资料

Abelian（阿贝尔）是数学术语，主要用于描述具有交换律性质的代数结构，其核心含义和用法如下：

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1.基本定义

Abelian 指代数学中满足交换律的群或结构。例如，一个群 ( G ) 若满足对任意元素 ( a, b in G ) 都有 ( a cdot b = b cdot a )，则称为阿贝尔群（Abelian group）。常见的例子包括整数集合在加法运算下构成的群。

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2.词源与背景

该词源自挪威数学家尼尔斯·阿贝尔（Niels Henrik Abel），他在19世纪对群论和代数方程理论做出了重要贡献。数学中多个以他命名的概念（如阿贝尔定理、阿贝尔积分）均与交换性相关。

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3.数学应用领域

• 群论：阿贝尔群是群论的基础，广泛用于代数结构分析。
• 代数数论：局部域的有限阿贝尔扩张研究（如判别式与导子的计算）。
• 抽象代数：在环、域等其他代数结构中，若运算满足交换律，也可能称为“阿贝尔的”。

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4.扩展概念

• 非阿贝尔群：不满足交换律的群（如矩阵乘法群）。
• 阿贝尔范畴：一种满足特定公理的范畴，常见于同调代数。

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Abelian 的核心意义是“交换性”，强调运算顺序不影响结果。它在数学中既是基本性质，也是研究复杂结构的工具。如需更深入的技术定义或定理，可参考群论或抽象代数教材。

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