单调递增函数英文解释翻译、单调递增函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 monotone increasing function

分词翻译：

单的英语翻译：

odd; single
【医】 azygos; mon-; mono-; uni-

调的英语翻译：

melody; mix; move; suit well; transfer
【计】 debugging mode

递增的英语翻译：

increase by degrees
【计】 ascending
【经】 increasing

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

在数学分析中，单调递增函数（monotonically increasing function）指定义域内任意两点满足“自变量增大则函数值不减”规律的实函数。其精确定义为：设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若对任意$x_1,x_2∈I$且$x_1<x_2$时，恒有$f(x_1)≤f(x_2)$，则该函数称为区间$I$上的单调递增函数。若严格满足$f(x_1)<f(x_2)$，则称为严格单调递增函数。

该概念的核心特征体现在两方面：一是函数图像的几何形态整体呈上升趋势（允许局部水平线段）；二是其导数的非负性——若函数可导，则$f'(x)≥0$在定义域内成立。典型实例包括线性函数$f(x)=kx+b$（当斜率$k>0$时）和指数函数$f(x)=a^x$（当底数$a>1$时）。

在应用领域，单调递增函数被广泛用于描述经济学中的边际效用递减规律、计算机算法的复杂度分析，以及工程学中的信号处理模型。美国数学学会(AMS)将其定义为“保序映射”的特例，强调该函数保持实数集中元素的原序关系。需要区分的是，非递减函数(non-decreasing function)与单调递增函数在数学文献中常被视为等价概念。

网络扩展解释

单调递增函数是数学分析中的基础概念，描述函数值随自变量增大而保持非减的特性。其核心定义和特性如下：

一、数学定义设函数( f(x) )在区间( I )上有定义，若对任意( x_1, x_2 in I )且( x_1 < x_2 )，都有： $$ f(x_1) leq f(x_2) $$ 则称( f(x) )在区间( I )上单调递增。若严格满足( f(x_1) < f(x_2) )，则称为严格单调递增。

二、判定方法

导数判据：若函数可导且( f'(x) geq 0 )在区间内恒成立，则函数单调递增；若( f'(x) > 0 )，则为严格递增。例如：
- ( f(x) = 2x + 1 )的导数恒为2，属于严格递增
- ( f(x) = x )在( x=0 )处导数为0，但整体仍严格递增
差分判据：直接验证( f(x_2) - f(x_1) geq 0 )对所有( x_2 > x_1 )成立。

三、典型示例

线性函数：( y = kx + b )（当( k > 0 )时严格递增）
指数函数：( y = a^x )（( a > 1 )时严格递增）
对数函数：( y = ln x )在定义域内严格递增

四、重要性质

反函数存在性：严格单调递增函数在其定义域内存在反函数。
极值特性：单调递增函数在区间端点取得最小值和最大值。
运算封闭性：两个单调递增函数的和仍保持递增性，但乘积不一定。

应用领域：这类函数常用于描述经济增长、物理运动轨迹、概率分布函数（如CDF）等随时间或输入参数单向变化的场景。例如经济学中的供需关系模型、统计学中的累积分布函数均需满足单调递增特性。