英语翻译：

【化】 deflection surface

相关词条：

1.planeofflexure  2.warpedsurface  

分词翻译：

挠曲的英语翻译：

【化】 flexure

面的英语翻译：

face; surface; cover; directly; range; scale; side
【医】 face; facies; facio-; prosopo-; surface

专业解析

挠曲面（Warped Surface）是一个在数学（尤其是微分几何）和工程力学（如壳体理论）中具有特定含义的专业术语。其核心含义是指无法通过简单展开摊平而不发生撕裂或褶皱的曲面，即非可展曲面。

以下从汉英词典角度对其详细解释：

一、 基本定义与核心特征

1. 中文定义 (挠曲面):

   • 指在三维空间中，高斯曲率不为零的曲面。这意味着曲面在不同方向上的弯曲程度存在差异，无法仅通过弯曲（不发生拉伸或压缩）将其变形为平面。
   • 其名称中的“挠”字，形象地表达了这种曲面扭曲、弯折的特性，与“平直”或“可展”相对。
   • 关键特性：不可展性。任何试图将其摊平成平面的尝试都会导致曲面的拉伸、压缩或撕裂。

2. 英文对应 (Warped Surface / Non-developable Surface):

   • Warped Surface: 强调曲面的扭曲、翘曲特性。
   • Non-developable Surface: 直接点明其不可展的本质属性，是与“Developable Surface”（可展曲面）相对的概念。
   • 数学定义：A surface whoseGaussian curvature is not identically zero.

二、 数学与几何学角度的解释

• 高斯曲率 (Gaussian Curvature): 这是区分挠曲面与可展曲面的关键指标。高斯曲率 $K$ 是曲面上某一点处两个主曲率 $kappa_1$ 和 $kappa_2$ 的乘积： $$ K = kappa_1 cdot kappa_2 $$
  • 对于平面或圆柱面等可展曲面，$K equiv 0$。
  • 对于球面、椭球面、双曲面等挠曲面，$K eq 0$（可能为正或负）。
• 微分几何描述: 挠曲面在局部上无法与平面建立等距映射。其度量性质（如长度、角度）与平面存在本质差异。

三、 工程力学（壳体理论）中的应用

在结构工程中，特别是薄壳结构分析中，“挠曲面”的概念至关重要：

• 壳体行为: 薄壳结构（如穹顶、压力容器壳体、飞机蒙皮）在受力时，其变形模式与平板有根本不同。壳体的承载能力很大程度上依赖于其初始的曲面几何形状（即是否为挠曲面） 以及由此产生的薄膜应力（面内拉压应力）。
• 与平板/可展曲面区别: 平板或可展曲面（如圆柱壳）主要依靠弯曲刚度抵抗荷载。而典型的挠曲面壳体（如球壳）则能更有效地通过薄膜作用传递荷载，通常具有更高的刚度和强度重量比。
• 分析复杂性: 由于高斯曲率的存在，挠曲面的力学分析（如建立平衡方程、求解位移和内力）比可展曲面或平板更为复杂，需要考虑曲面的几何非线性效应。

四、 常见例子

• 数学/几何: 球面、椭球面、大部分双曲面（如单叶双曲面）、抛物面、环面（轮胎面）等。
• 工程: 建筑穹顶（如天文馆）、冷却塔、储液罐的封头、汽车车身的外覆盖件、飞机机身和机翼的复杂曲面部分等。

五、 与相关概念的区别

• 可展曲面 (Developable Surface): 高斯曲率处处为零的曲面（如平面、圆柱面、圆锥面）。它们可以不经拉伸或压缩地展开成平面。
• 直纹曲面 (Ruled Surface): 由直线（母线）运动生成的曲面。直纹曲面可以是可展的（如柱面、锥面），也可以是不可展的挠曲面（如单叶双曲面）。因此，“直纹”描述的是生成方式，“可展/挠曲”描述的是内在的度量性质（高斯曲率）。

参考资料：

1. 中国力学学会. (主编). (2015). 力学名词 (第2版). 北京: 科学出版社. (定义了工程力学中的相关术语，包括壳体行为描述)。
2. Kreyszig, E. (1991). Differential Geometry. Dover Publications. (提供了经典微分几何中曲面论的基础，包括高斯曲率和曲面分类)。
3. Pressley, A. (2010). Elementary Differential Geometry (2nd ed.). Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. (清晰解释了高斯曲率及其在曲面分类中的作用)。
4. Timoshenko, S., & Woinowsky-Krieger, S. (1959). Theory of Plates and Shells (2nd ed.). McGraw-Hill. (工程壳体理论的经典著作，深入探讨了挠曲面壳体的力学行为)。
5. 王勖成. (2003). 有限单元法. 清华大学出版社. (中文经典教材，在介绍壳体有限元时涉及挠曲面特性)。
6. Eric W. Weisstein. "Developable Surface." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (清晰区分了可展曲面与挠曲面/不可展曲面)。

网络扩展解释

挠曲面是微分几何中与挠曲线相关的一类特殊曲面，其定义和性质可通过以下要点解释：

1. 挠曲线的定义
   挠曲线指三维空间中挠率不恒为零的曲线。挠率（τ）表示曲线副法向量随弧长变化的速率，若τ≠0，则曲线在空间中呈非平面扭曲形态，称为挠曲线。

2. 挠曲面的构造
   挠曲面通常指挠曲线的切线曲面，即由挠曲线上每一点的切向量延伸生成的曲面。其参数方程可表示为：
   $$ mathbf{r}(s, v) = mathbf{r}(s) + v mathbf{T}(s) $$
   其中，(mathbf{r}(s))为挠曲线方程，(mathbf{T}(s))为切向量，(v)为参数。

3. 局部性质

   • 曲率与挠率影响：曲面的几何特性与挠曲线的曲率（κ）和挠率（τ）密切相关，二者共同决定曲面在局部的弯曲和扭曲程度。
   • 法向量分布：挠曲面的法向量场会随挠率变化呈现非均匀分布，导致曲面局部形态复杂。
   • 应用场景：此类曲面在工程力学（如弹性杆件形变）和计算机图形学（曲线建模）中有重要应用。

4. 词义延伸
   “挠”在古汉语中本义为“弯曲”，如《韩非子》中“绳不挠曲”即强调刚性物体抵抗弯曲的特性，这与挠曲面表现出的空间扭曲特性一致。

如需进一步了解挠曲面的数学推导或具体实例，可参考微分几何教材或相关学术文献。

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