可微函数英文解释翻译、可微函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 differentiable function

分词翻译：

可的英语翻译：

approve; but; can; may; need; yet

微的英语翻译：

decline; profound; tiny
【计】 mic-; micro-
【医】 micr-; micro-; mikro-; mu

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

在数学分析领域，可微函数（differentiable function）指在定义域内每个点都存在导数的实函数。其核心特征表现为函数图像在任何局部范围内都能被线性函数近似，这一性质构成了微分学的基础框架。

从汉英词典视角解析，“可微”对应的英文术语为"differentiable"，强调函数满足以下双重条件：

单点可微性：对任意给定点$x0$，极限$lim{h to 0} frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在且唯一
全域可微性：上述性质需在定义域的所有点成立，该要求强于连续性

几何解释方面，可微函数在坐标平面上的表现为光滑曲线，排除尖点、垂直切线等不可导情形。工程领域中的典型应用包括：

机械系统的运动轨迹建模（参考《工程数学手册》）
电磁场强度分布的梯度计算（引用IEEE Transactions on Magnetics）
经济学中的边际效益分析（源自《数理经济学方法》）

重要数学性质体现为微分中值定理：对于闭区间$[a,b]$上的可微函数，存在$xi in (a,b)$满足： $$ f(b)-f(a) = f'(xi)(b-a) $$ 该定理构成了微积分基本理论的重要支柱。在实际应用中需注意可微性与连续可微性的区别，后者要求导数函数本身具有连续性，这一强化条件常见于偏微分方程解的存在性证明。

网络扩展解释

可微函数是微积分中的核心概念，指在定义域内某点处导数存在的函数。具体来说：

定义
若函数( f(x) )在点( x_0 )处的极限
$$
f'(x0) = lim{h to 0} frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}
$$
存在且有限，则称( f(x) )在( x_0 )处可微。若函数在某个区间内的每一点都可微，则称其在该区间上是可微函数。
几何意义
可微意味着函数图像在对应点处是“光滑”的，没有尖角、断裂或垂直切线。例如：
- ( f(x) = x )在所有实数点可微，图像是光滑抛物线。
- ( f(x) = |x| )在( x=0 )处不可微，因为此处有尖角。
与连续性的关系

可微函数一定是连续的，但连续函数未必可微。例如：
- 魏尔斯特拉斯函数：处处连续但无处可微（分形曲线）。

应用场景

物理学：速度和加速度的计算依赖可微性。
优化问题：梯度下降法需要目标函数可微。
工程建模：平滑的曲线/曲面更易分析和控制。

多变量函数的推广
对多元函数( f(x_1, x_2, ..., x_n) )，可微性要求所有偏导数存在且连续（即属于( C )类函数），此时函数可用线性近似（全微分）表示。