可微函數英文解釋翻譯、可微函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 differentiable function

分詞翻譯：

可的英語翻譯：

approve; but; can; may; need; yet

微的英語翻譯：

decline; profound; tiny
【計】 mic-; micro-
【醫】 micr-; micro-; mikro-; mu

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

在數學分析領域，可微函數（differentiable function）指在定義域内每個點都存在導數的實函數。其核心特征表現為函數圖像在任何局部範圍内都能被線性函數近似，這一性質構成了微分學的基礎框架。

從漢英詞典視角解析，“可微”對應的英文術語為"differentiable"，強調函數滿足以下雙重條件：

單點可微性：對任意給定點$x0$，極限$lim{h to 0} frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在且唯一
全域可微性：上述性質需在定義域的所有點成立，該要求強于連續性

幾何解釋方面，可微函數在坐标平面上的表現為光滑曲線，排除尖點、垂直切線等不可導情形。工程領域中的典型應用包括：

機械系統的運動軌迹建模（參考《工程數學手冊》）
電磁場強度分布的梯度計算（引用IEEE Transactions on Magnetics）
經濟學中的邊際效益分析（源自《數理經濟學方法》）

重要數學性質體現為微分中值定理：對于閉區間$[a,b]$上的可微函數，存在$xi in (a,b)$滿足： $$ f(b)-f(a) = f'(xi)(b-a) $$ 該定理構成了微積分基本理論的重要支柱。在實際應用中需注意可微性與連續可微性的區别，後者要求導數函數本身具有連續性，這一強化條件常見于偏微分方程解的存在性證明。

網絡擴展解釋

可微函數是微積分中的核心概念，指在定義域内某點處導數存在的函數。具體來說：

定義
若函數( f(x) )在點( x_0 )處的極限
$$
f'(x0) = lim{h to 0} frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}
$$
存在且有限，則稱( f(x) )在( x_0 )處可微。若函數在某個區間内的每一點都可微，則稱其在該區間上是可微函數。
幾何意義
可微意味着函數圖像在對應點處是“光滑”的，沒有尖角、斷裂或垂直切線。例如：
- ( f(x) = x )在所有實數點可微，圖像是光滑抛物線。
- ( f(x) = |x| )在( x=0 )處不可微，因為此處有尖角。
與連續性的關系

可微函數一定是連續的，但連續函數未必可微。例如：
- 魏爾斯特拉斯函數：處處連續但無處可微（分形曲線）。

應用場景

物理學：速度和加速度的計算依賴可微性。
優化問題：梯度下降法需要目标函數可微。
工程建模：平滑的曲線/曲面更易分析和控制。

多變量函數的推廣
對多元函數( f(x_1, x_2, ..., x_n) )，可微性要求所有偏導數存在且連續（即屬于( C )類函數），此時函數可用線性近似（全微分）表示。