极值解英文解释翻译、极值解的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 extremal solution

分词翻译：

极值的英语翻译：

extreme value; extremum
【化】 extreme value; extremum value

解的英语翻译：

dispel; divide; separate; solution; explain; relieve oneself; send under guard
unbind; uncoil; understand
【医】 ant-; anti-

专业解析

在数学优化领域，"极值解"（英文对应术语通常为extremum solution 或solution at an extremum）是一个核心概念，它描述的是函数在特定约束条件下达到其最大值或最小值的点（或解）。以下是基于汉英词典视角的详细解释：

一、术语定义与核心含义

• 中文释义 (极值解):
  • "极值"指函数在其定义域内所能达到的最大值或最小值。
  • "解"在此语境下指满足特定方程或约束条件的答案或结果。
  • 因此，"极值解"合指在给定约束条件下，使目标函数取得极大值或极小值的变量取值或状态。它是优化问题（如求最大利润、最小成本、最短路径）中最终寻求的答案。
• 英文释义 (Extremum Solution):
  • "Extremum" (源自拉丁语 extremus, 意为"极端的") 在数学中特指函数的最大值 (maximum) 或最小值 (minimum)。
  • "Solution" 指满足问题所有条件和方程的结果。
  • 故 "extremum solution" 指在优化模型中，能使目标函数值达到其全局或局部最大值/最小值的可行解。它代表了问题的最优结果。

二、数学意义与应用场景 极值解是数学优化理论的核心目标。它广泛应用于：

1. 工程学： 结构设计（最小化材料用量/最大化强度）、控制系统设计（最小化误差/能耗）。
2. 经济学： 效用最大化、成本最小化、资源最优配置。
3. 运筹学： 路径优化（最短路径）、调度问题（最小化等待时间）、库存管理（最小化库存成本）。
4. 机器学习： 损失函数最小化以训练模型参数（如线性回归、神经网络）。
5. 物理学： 最小作用量原理、能量最小化状态。

三、关键特征与求解

• 极值类型： 包括全局最大值/最小值（整个定义域上的最优值）和局部最大值/最小值（某个邻域内的最优值）。
• 必要条件： 对于可微函数，极值点通常是导数为零的点（临界点），但临界点不一定是极值点（可能是鞍点）。
• 充分条件： 常通过二阶导数测试或高阶条件来判断临界点是否为极值点以及是极大值还是极小值。
• 约束优化： 当存在约束条件（如等式或不等式约束）时，极值解的求解需借助拉格朗日乘数法、KKT条件等方法。

权威参考来源：

1. 《数学辞海》 (中国学术权威工具书) - 提供"极值"、"极值问题"的标准数学定义和分类。
2. Oxford Reference - Oxford Dictionary of Mathematics - 对 "extremum" 和 "optimization" 有精确定义和解释。 [链接需验证有效性，此处仅列来源]
3. Springer Online Reference Works (e.g., Encyclopedia of Mathematics) - 提供"Extremum"、"Optimization Problem"、"Optimal Solution"的详细数学阐述和应用背景。 [链接需验证有效性，此处仅列来源]
4. Wolfram MathWorld - 对 "Extremum" 和 "Critical Point" 有清晰定义和数学特性描述。 [链接需验证有效性，此处仅列来源]

网络扩展解释

“极值解”是一个数学概念，通常出现在优化问题或微分方程中，指满足某种极值条件的解。具体含义需结合具体领域分析：

1. 数学中的极值解 在微积分中，极值指函数在某点或某区间内的最大值或最小值。极值解即函数达到极值时的解，例如：

   • 若函数$f(x)$在$x_0$处一阶导数$f'(x_0)=0$且二阶导数$f''(x_0)>0$，则$x_0$是极小值点；
   • 若$f''(x_0)<0$，则是极大值点。

2. 优化问题中的极值解 在优化领域（如经济学、工程学），极值解是目标函数（如成本、收益）的最优解。例如：

   • 利润最大化问题中，极值解对应边际收益等于边际成本的点；
   • 最短路径问题中，极值解是路径长度最小的路线。

3. 变分法中的极值解 变分法研究泛函（函数的函数）的极值，极值解对应满足欧拉方程的曲线。例如：

   • 最速降线问题中，极值解是使下落时间最短的曲线（摆线）。

4. 动态系统的极值解 在控制理论中，极值解可能指使系统能量最小或性能指标最优的状态轨迹。

极值解的核心是“在特定条件下达到极端值”，具体形式需结合问题背景。若涉及具体领域（如物理中的最小作用量原理），需进一步分析约束条件和目标函数。

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