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加权图；带权图

例句

And then the control method based on weighted graph was presented.

然后提出了一种基于加权无向图的控制方法。

In this thesis, grid partitioning is converted to an unoriented and weighted graph, on which partitioning algorithm is stu***d.

本文将网格分区问题转化为无向赋权图的分区，在图上研究分区算法。

Finally, this paper gave simulated annealing algorithm for K-vertex-connected minimal augmentation on arbitrary undirected weighted graph.

最终推出了任意无向加权图K点连通最小扩充的模拟退火算法。

We present a novel perspective on characterizing the spectral correspondence between nodes of the weighted graph with application to image registration.

本文提出了一种新的基于谱图矩阵扰动分析的权图顶点对应的图像配准方法。

This paper discusses algorithms of the shortest path in a weighted graph as well as the shortest path transformations resulted from it, and gives a ****** program solving problem of MATLAB.

讨论了一个带权图的最短路径的算法及其若干个变形问题的算法，并在MATLAB软件环境下对最短路径问题给出了一个简捷易懂的程序。

专业解析

加权图（Weighted Graph）是图论中的一个重要概念，指在图中为每条边（或顶点）赋予一个特定数值（权重）的数据结构。权重通常表示两个顶点之间关系的量化属性，如距离、成本、时间、容量或强度等。

一、核心定义与数学表示

设图 ( G = (V, E) )，其中 ( V ) 是顶点集，( E ) 是边集。若存在映射函数 ( w: E to mathbb{R} )（实数集），则为边加权图；若映射作用于顶点（( w: V to mathbb{R} )），则为顶点加权图。权重函数 ( w ) 将每条边 ( e{ij} )（连接顶点 ( i ) 与 ( j )）映射到一个实数值 ( w(e{ij}) )，例如：

• 交通图中：边权重可表示道路长度（公里）或通行时间（分钟）
• 通信网络中：边权重可表示带宽（Mbps）或延迟（ms）
• 社交网络中：边权重可表示用户亲密度（0-1分值）

二、技术特性与分类

1. 有向与无向加权图

   • 无向加权图：边无方向性，权重对称（如 ( w(i,j) = w(j,i) )）
   • 有向加权图：边有方向，权重可能不对称（如 ( w(i,j) eq w(j,i) )）

2. 权重类型

   • 正权图：所有权重 ≥ 0（常见于路径规划）
   • 负权图：允许权重 < 0（如金融网络中的债务关系）
   • 零权图：权重 = 0（表示无实际成本的关系）

三、典型应用场景

1. 最短路径算法

   Dijkstra算法（正权图） 和 Bellman-Ford算法（含负权图） 依赖权重计算最优路径。

   示例：导航软件中，权重=路程时间 → 求解最快路线。

2. 网络流优化

   在容量加权图中（边权重=管道容量），Ford-Fulkerson算法求解最大流，用于交通调度或数据传输。

3. 聚类分析

   权重反映节点关联强度，例如社交网络中基于互动频率（权重）的社区检测。

4. 最小生成树

   Prim和Kruskal算法利用边权重构造连通所有顶点的最小成本树，应用于电网铺设。

四、反例：非加权图

若图中所有边权重隐含为1（或视为无差异），则称为无权图（Unweighted Graph）。此时路径长度仅由边数决定，无法区分实际成本差异。

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权威参考来源：

1. Stanford University: Weighted Graphs Definition stanford.edu/graph-theory
2. MIT OpenCourseWare: Shortest Paths with Negative Weights mit.edu/6.006-lectures
3. IEEE Transactions: Network Flow Models doi.org/10.1109/ACCESS.2021.309
4. ACM Computing Surveys: Graph Clustering Methods doi.org/10.1145/3448016
5. Springer Graph Theory Textbook: Minimum Spanning Trees link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-53622-3_11

网络扩展资料

加权图（weighted graph）是图论中的一个重要概念，其核心特征是图中的每条边（或弧）都被赋予了一个数值，称为“权重”（weight）。以下是对这一术语的详细解释：

1.基本定义

• 加权图由顶点（节点）和带权重的边组成。数学上可表示为 ( G = (V, E, w) )，其中：
  • ( V ) 是顶点集合，
  • ( E ) 是边集合，
  • ( w: E rightarrow mathbb{R} ) 是权重函数，为每条边分配一个实数值。

2.权重的意义

权重可以表示多种实际含义：

• 距离（如道路网络中两城市的公里数），
• 成本（如物流中运输费用），
• 时间（如任务调度中的耗时），
• 容量（如网络中带宽限制），
• 概率（如通信链路的可靠性）。

3.与普通图的区别

• 非加权图：边仅表示顶点间的连接关系，无量化信息。
• 加权图：边的权重提供了额外的信息，直接影响路径选择或算法设计（例如最短路径需考虑权重累加）。

4.分类

• 有向加权图：边有方向，权重可能因方向不同而异（如单行道通行时间）。
• 无向加权图：边无方向，权重双向相同（如双行道距离）。

5.应用场景

• 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法均基于权重计算最优路径。
• 网络优化：如通信网络的路由规划、电网的负载分配。
• 社交网络分析：权重可表示用户互动频率或亲密度。

示例

假设一个交通网络图：

• 顶点：北京、上海、广州。
• 边权重：北京到上海（高铁时长4.5小时），上海到广州（航班时长2小时）。

通过权重，可以快速计算出不同交通方式的最优路线。

加权图通过引入权重扩展了图的数据表达能力，使其能更精确地建模现实问题。理解这一概念是学习图算法（如最小生成树、最大流）的基础，尤其在优化和复杂系统分析中至关重要。

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