topological space是什么意思，topological space的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

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拓扑空间（topological space）是数学中拓扑学的基础概念，用于描述集合上的一种结构，以形式化“邻近性”“连续性”等几何直觉。其核心是通过定义集合的哪些子集属于“开集”，从而抽象出空间的性质（如连通性、紧致性）。

定义

拓扑空间由两部分组成：

1. 一个非空集合 ( X )（称为底集或点集）；
2. 一组子集构成的族 ( tau )（称为拓扑），满足以下公理：
   • 空集和全集属于 ( tau ):
     ( emptyset in tau ), ( X in tau );
   • 任意并集的封闭性:
     若 ( {U_i} subseteq tau )，则 ( bigcup U_i in tau );
   • 有限交集的封闭性:
     若 ( U_1, U_2, ldots, Un in tau )，则 ( bigcap{k=1}^n U_k in tau )。

关键概念

• 开集与闭集:
  ( tau ) 中的元素称为开集，其补集称为闭集。例如，在实数标准拓扑中，开区间 ( (a,b) ) 是开集，闭区间 ( [a,b] ) 是闭集。
• 邻域:
  若点 ( x in X ) 属于某个开集 ( U )，则称 ( U ) 是 ( x ) 的邻域。
• 连续性:
  函数 ( f: X to Y ) 是连续的，当且仅当 ( Y ) 中每个开集的原像在 ( X ) 中是开集。

例子

1. 离散拓扑:
   所有子集均为开集（( tau = 2^X )），例如有限集合赋予离散拓扑。
2. 平庸拓扑:
   仅空集和全集为开集（( tau = {emptyset, X} )），这是最粗略的拓扑。
3. 实数标准拓扑:
   开集由开区间的任意并集和有限交集构成。

意义与应用

拓扑空间摆脱了对距离的依赖（如度量空间），专注于更一般的“形状”性质，例如：

• 连通性: 空间是否可分为两个不相交的非空开集；
• 紧致性: 任意开覆盖是否有有限子覆盖；
• 同胚: 通过连续双射判断空间是否拓扑等价。

通过拓扑空间，数学家能够统一研究几何、分析中的连续性现象，并推广到更抽象的结构（如流形、纤维丛）。

网络扩展资料二

拓扑空间是数学中的一个概念，用来描述一个集合中元素之间的“接近程度”或“邻近关系”，而不考虑它们的度量或距离。一个拓扑空间包括一个集合和定义在这个集合上的一组拓扑结构，这组结构可以用来描述集合中元素之间的接近关系。

拓扑空间中的一些基本概念包括：

• 开集：在拓扑空间中，一个集合被称为开集，如果这个集合的每个点都在这个集合的内部。
• 闭集：一个集合被称为闭集，如果它的补集是开集。
• 连通性：如果一个集合不能被分成两个不相交的非空开集，则这个集合被称为连通的。
• 紧致性：如果一个集合的任何开覆盖都有有限子覆盖，则这个集合被称为紧致的。

拓扑空间常用于研究拓扑学、分析学和代数学等领域。在物理学中，拓扑空间也有广泛应用，例如在描述物质的相变和拓扑量子场论中。

例句

• 英文：In topology, a topological space may be defined as a set of points, along with a set of neighbourhoods for each point.中文：在拓扑学中，拓扑空间可以被定义为一组点以及每个点的一组邻域。

用法

拓扑空间是数学中的一个基本概念，用来描述集合中元素之间的接近关系。在研究拓扑学、分析学和代数学等领域时，拓扑空间是一个重要的工具。

解释

拓扑空间是一个集合和定义在这个集合上的一组拓扑结构，这组结构可以用来描述集合中元素之间的接近关系。拓扑空间中的一些基本概念包括开集、闭集、连通性和紧致性等。

近义词

• 拓扑学
• 拓扑结构
• 拓扑性质

反义词

• 距离空间

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