topological space是什么意思，topological space的意思翻译、用法、同义词、例句
常用词典
[数] 拓扑空间
例句
The connectedness of grey topological space is stu***d.
研究灰拓扑空间的连通性。
There is a ****** way of associating a topological space with a graph.
有一种把一个拓扑空间同一个图联系起来的简单的方式。
The concept of -generalized convex set-valued map is defined in linear topological space.
在线性拓扑空间中，定义了-广义锥凸集值映射的概念。
Aim to study the existence of the extreme points of a compact set in linear topological space.
目的研究线性拓扑空间中紧集端点存在性问题。
By using a known coincidence theorem, a minimax inequality is established in general topological space.
利用已知的重合点定理，在一般拓扑空间内得到一个极大极小不等式定理。
专业解析
拓扑空间（Topological Space）是数学中拓扑学的核心概念，它提供了一种严谨的框架来定义和讨论“连续性”、“收敛性”、“连通性”和“紧致性”等几何与空间性质，而无需依赖于距离的概念（如度量空间）。
其精确定义如下：
一个拓扑空间是一个有序对 ((X, tau))，其中：
- (X) 是一个非空集合（称为承载集或点集）。
- (tau) 是 (X) 的一个子集族（即由 (X) 的若干子集构成的集合），称为 (X) 上的一个拓扑（Topology）。这个子集族 (tau) 必须满足以下三条公理：
- 空集和全集属于 (tau)：(emptyset in tau) 且 (X in tau)。
- 任意并集的封闭性：(tau) 中任意多个成员（可以是无限多个）的并集仍然属于 (tau)。
- 有限交集的封闭性：(tau) 中任意有限多个成员的交集仍然属于 (tau)。
(tau) 中的成员称为开集（Open Sets）。因此，拓扑 (tau) 本质上定义了集合 (X) 中哪些子集被认为是“开”的，并且这些开集必须满足上述三条公理。
核心概念解释：
- 开集（Open Sets）： 这是拓扑空间中最基本的概念。开集不一定是直观上“开放”的区域（如开区间），而是由拓扑 (tau) 明确指定的、满足公理的子集。开集定义了空间中点的“邻域”概念。
- 邻域（Neighborhood）： 点 (x in X) 的一个邻域是指一个包含 (x) 的子集 (N subseteq X)，使得存在一个开集 (U in tau) 满足 (x in U subseteq N)。邻域描述了围绕一个点的“附近”区域。
- 连续性（Continuity）： 拓扑空间之间的函数 (f: X to Y) 是连续的，当且仅当 (Y) 中任意开集 (V) 的原像 (f^{-1}(V)) 是 (X) 中的开集（即 (f^{-1}(V) in tau_X)）。这推广了微积分中连续函数的 (epsilon-delta) 定义。
- 拓扑性质（Topological Property）： 指那些在连续变形（如同胚）下保持不变的性质。例如：
- 连通性（Connectedness）： 空间不能被分割成两个非空、不相交的开集之并。
- 紧致性（Compactness）： 空间任意开覆盖都有有限子覆盖。
- 豪斯多夫性质（Hausdorff Property）： 空间中任意两个不同的点都存在不相交的邻域。这是许多常见空间（如度量空间）满足的重要分离性质。
- 道路连通性（Path-connectedness）： 空间中任意两点都能用一条连续曲线连接。
意义与重要性：
拓扑空间的概念极大地推广和抽象了我们对空间结构的理解。它使得研究连续性、极限、边界等概念不再依赖于具体的距离度量，而只依赖于开集结构（即拓扑）。这使得拓扑学能够处理非常抽象和奇异的“空间”，成为现代数学（如几何、分析、代数拓扑）和理论物理（如时空结构）的基础工具之一。度量空间（定义了距离的空间）是拓扑空间的一个重要特例（由其开球诱导的度量拓扑）。
权威参考来源：
- James R. Munkres 的经典教材 Topology (Second Edition) 是学习点集拓扑的标准入门参考书，对拓扑空间的定义和基本性质有系统阐述。其著作被广泛用于大学数学系课程。 (参考来源：Munkres, J. R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall.)
- John L. Kelley 的著作 General Topology 是拓扑学领域的另一部奠基性经典教材，深入探讨了拓扑空间及其性质。 (参考来源：Kelley, J. L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. 最初出版于1955年)。
- 数学百科全书MathWorld 由 Wolfram Research 维护，其“Topological Space”词条提供了精炼的定义和关键概念解释，具有较高的权威性。 (参考来源：Weisstein, Eric W. "Topological Space." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/TopologicalSpace.html - 请注意，此链接通常有效，但请以实际访问为准)
- 在线百科全书Wikipedia 的“Topological Space”词条提供了全面且引用丰富的概述，涵盖定义、例子、构造方法和基本性质，并由社区持续维护更新。 (参考来源：Wikipedia contributors. "Topological space." Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space - 请注意，此链接通常有效，但请以实际访问为准)
网络扩展资料
拓扑空间（topological space）是数学中拓扑学的基础概念，用于描述集合上的一种结构，以形式化“邻近性”“连续性”等几何直觉。其核心是通过定义集合的哪些子集属于“开集”，从而抽象出空间的性质（如连通性、紧致性）。
定义
拓扑空间由两部分组成：
- 一个非空集合 ( X )（称为底集或点集）；
- 一组子集构成的族 ( tau )（称为拓扑），满足以下公理：
- 空集和全集属于 ( tau ):
( emptyset in tau ), ( X in tau );
- 任意并集的封闭性:
若 ( {U_i} subseteq tau )，则 ( bigcup U_i in tau );
- 有限交集的封闭性:
若 ( U_1, U_2, ldots, Un in tau )，则 ( bigcap{k=1}^n U_k in tau )。
关键概念
- 开集与闭集:
( tau ) 中的元素称为开集，其补集称为闭集。例如，在实数标准拓扑中，开区间 ( (a,b) ) 是开集，闭区间 ( [a,b] ) 是闭集。
- 邻域:
若点 ( x in X ) 属于某个开集 ( U )，则称 ( U ) 是 ( x ) 的邻域。
- 连续性:
函数 ( f: X to Y ) 是连续的，当且仅当 ( Y ) 中每个开集的原像在 ( X ) 中是开集。
例子
- 离散拓扑:
所有子集均为开集（( tau = 2^X )），例如有限集合赋予离散拓扑。
- 平庸拓扑:
仅空集和全集为开集（( tau = {emptyset, X} )），这是最粗略的拓扑。
- 实数标准拓扑:
开集由开区间的任意并集和有限交集构成。
意义与应用
拓扑空间摆脱了对距离的依赖（如度量空间），专注于更一般的“形状”性质，例如：
- 连通性: 空间是否可分为两个不相交的非空开集；
- 紧致性: 任意开覆盖是否有有限子覆盖；
- 同胚: 通过连续双射判断空间是否拓扑等价。
通过拓扑空间，数学家能够统一研究几何、分析中的连续性现象，并推广到更抽象的结构（如流形、纤维丛）。
别人正在浏览的英文单词...
【别人正在浏览】
