taylor expansion是什么意思，taylor expansion的意思翻译、用法、同义词、例句

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例句

专业解析

泰勒展开（Taylor Expansion） 是一种用多项式逼近复杂函数的数学工具，其核心思想是通过某一点处的函数值及各阶导数值，构造一个无限项的多项式来近似原函数。其一般形式为：

$$ f(x) = sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$ 其中，( f^{(n)}(a) ) 表示函数 ( f(x) ) 在点 ( a ) 处的 ( n ) 阶导数，( n! ) 为阶乘，( (x-a)^n ) 为展开项的幂次部分。

核心组成部分

1. 导数信息：泰勒展开的系数由函数在展开点处的各阶导数决定，这反映了函数在该点的局部特性。例如，一阶导数对应斜率，二阶导数对应曲率。
2. 余项（Remainder）：实际应用中常使用有限项展开，此时余项 ( R_n(x) ) 表示近似误差，可通过拉格朗日或佩亚诺形式量化。

应用领域

• 工程计算：用于简化复杂方程求解，如电路分析中的非线性元件建模。
• 物理建模：在经典力学和量子力学中，泰勒展开用于线性化势能函数或波动方程。
• 计算机科学：机器学习中的梯度下降算法依赖泰勒展开对损失函数进行局部近似。

历史背景

泰勒展开由英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor）于1715年提出，后续被柯西（Augustin-Louis Cauchy）等人完善，成为微积分和数值分析的基础工具。

参考资料：

• MIT开放式课程《微积分》链接
• 数学世界（MathWorld）泰勒级数条目链接
• 可汗学院《泰勒多项式》教程链接
• 斯坦福大学《工程数学》教材第4章链接

网络扩展资料

泰勒展开（Taylor expansion）是一种用多项式逼近复杂函数的数学方法，其核心思想是将光滑函数在某一点附近展开为无限项的多项式，每一项的系数由函数在该点的导数值决定。

基本公式

泰勒展开的表达式为： $$ f(x) = sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$ 其中：

• ( a ) 是展开点（若 ( a=0 )，则称为麦克劳林展开）
• ( f^{(n)}(a) ) 表示函数在 ( a ) 处的 ( n ) 阶导数
• ( n! ) 是阶乘运算

关键特点

1. 局部近似：在展开点 ( a ) 附近，多项式与原始函数高度吻合，离 ( a ) 越远误差可能越大。
2. 余项分析：实际应用中常取有限项（如前 ( N ) 项），剩余部分称为余项 ( R_N )，用于估计近似误差。

常见例子

• 指数函数 ( e^x ) 的麦克劳林展开：
  ( e^x = 1 + x + frac{x}{2!} + frac{x}{3!} + cdots )
• 正弦函数 ( sin x ) 的展开：
  ( sin x = x - frac{x}{3!} + frac{x}{5!} - cdots )

应用场景

1. 工程计算：简化复杂函数（如计算器中的三角函数实现）。
2. 物理建模：将非线性问题线性化（如单摆的小角度近似）。
3. 数学分析：研究函数性质（如极值、渐进行为）。

注意事项

• 收敛性：并非所有泰勒级数都收敛到原函数（例如 ( e^{-1/x} ) 在 ( x=0 ) 处的展开全为零，但原函数非零）。
• 光滑性要求：函数需在展开点处无限可导。

泰勒展开通过“以简驭繁”的思想，为科学计算和理论分析提供了重要工具。

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