recurrence formula是什么意思，recurrence formula的意思翻译、用法、同义词、例句

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专业解析

递推公式（recurrence formula）是数学和计算机科学中用于通过已知前项推导后续项的表达式。它通过递归关系描述序列或函数的生成规则，常见于数列、算法分析和动态规划等领域。

核心定义

递推公式通常由两部分组成：

1. 初始条件：明确序列的起始值，例如斐波那契数列的 ( F(0)=0, F(1)=1 )。
2. 递推关系：定义后续项与前项的关系，如 ( F(n) = F(n-1) + F(n-2) )。

典型应用场景

1. 数列生成：如阶乘 ( n! = n times (n-1)! )，初始条件为 ( 0! = 1 )（来源：数学分析教材）。
2. 算法设计：递归算法的时间复杂度分析常基于递推公式，例如归并排序的 ( T(n) = 2T(n/2) + O(n) )。
3. 组合数学：计算排列组合数时，递推公式 ( C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k) ) 用于帕斯卡三角形（来源：离散数学研究）。

数学与工程意义

递推公式将复杂问题分解为可重复的子问题，降低计算复杂度。例如，微分方程的数值解法中，欧拉法通过 ( y_{n+1} = y_n + h cdot f(x_n, y_n) ) 逐步逼近解（来源：数值计算方法）。

这类公式的严谨性使其被广泛应用于密码学、金融建模等领域，相关理论可参考《具体数学》（Concrete Mathematics）等权威著作。

网络扩展资料

"Recurrence formula"（递推公式）是数学和计算机科学中的术语，指通过序列中已知的前一项或多项来定义后续项的公式。它通过递归关系描述序列的生成规律，通常用于简化复杂计算或分析动态系统。

核心概念

1. 定义
   递推公式表示序列中第 (n) 项与其前一项或多前的函数关系。例如斐波那契数列的递推公式为：
   $$ F(n) = F(n-1) + F(n-2) $$
   其中 (F(0)=0)，(F(1)=1)。

2. 与显式公式的区别
   显式公式（如等差数列 (a_n = a_1 + (n-1)d)）直接计算第 (n) 项，而递推公式需依赖前驱项的值。

3. 应用领域

   • 数学：数列、组合数学（如二项式系数）、微分方程离散化。
   • 计算机科学：递归算法、动态规划（如背包问题）。
   • 物理学：离散时间系统的建模（如人口增长模型）。

常见类型

• 线性递推：如 (a_n = c1a{n-1} + c2a{n-2})（系数为常数）。
• 非线性递推：如 (an = a{n-1} cdot a_{n-2})（包含非线性运算）。
• 齐次/非齐次递推：是否包含与 (n) 相关的额外项。

解法示例

以阶乘的递推公式 (n! = n cdot (n-1)!) 为例：

• 递归终止条件：(0! = 1)。
• 递推过程：(5! = 5 times 4! = 5 times 4 times 3! = cdots = 120)。

实际意义

递推公式通过分治思想将问题分解为子问题，降低计算复杂度，但也可能因递归深度过大导致效率问题（如斐波那契数列的朴素递归时间复杂度为 (O(2^n))）。优化方法包括记忆化（缓存中间结果）或转化为迭代形式。

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