[数] 概率论
One of the first principles of probability theory is called the multiplication rule.
概率论的基本原理之一叫做乘法法则。
It really is probability theory and the idea of spreading risk through risk pooling.
就是概率论，以及通过风险汇聚来分摊风险。
For programmers, the most useful branch of discrete math is probability theory.
对程序员来说，最有效的离散数学的分支是概率理论。
New fuzzy set theory is isomorphic to the fundamental part of probability theory.
新模糊集合理论与概率论的基本部分是同构的。
The formulation of judging threshold is given from the point of probability theory.
本文还从概率论的角度给出了精确的判决门限确定公式。
概率论是数学的一个分支学科，主要研究随机现象的数量规律性。它以公理化体系为基础，用数学语言描述事件发生的可能性，其核心概念包括：
样本空间与事件
所有可能结果的集合称为样本空间，而事件是样本空间的子集。例如抛骰子时，样本空间是{1,2,3,4,5,6}，"出现偶数"则构成一个事件。
概率公理
柯尔莫哥洛夫提出的三条公理奠定了理论基础： $$ 0 leq P(A) leq 1 P(Omega) = 1 Pleft(bigcup_{i=1}^infty Airight) = sum{i=1}^infty P(A_i) quad (text{互斥事件}) $$
条件概率与独立性
条件概率公式$P(A|B)=frac{P(A cap B)}{P(B)}$揭示了事件关联性。独立事件满足$P(A cap B)=P(A)P(B)$，如独立抛掷硬币的结果。
该理论在多个领域有重要应用：
现代概率论已发展出鞅论、随机微分方程等分支，其严格化的数学形式在量子力学、人工智能算法（如蒙特卡洛方法）等领域持续发挥重要作用。
概率论（Probability Theory）是数学的一个分支，主要研究随机现象、不确定性事件及其规律性。它通过数学模型描述和量化随机事件发生的可能性，并为统计学、机器学习、金融、物理等领域提供理论基础。以下是其核心概念和内容的详细解释：
如果需要更具体的公式推导、实例分析或领域应用，可以进一步提问！
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