probability density是什么意思，probability density的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 概率密度；[量子] 几率密度

例句

Doing those probability density dot graphs, we can get an idea of the shape of those orbitals, and we know that they're spherically symmetrical.

通过那些概率密度图，我们可以知道轨道的形状，我们知道它们是球形对称的。

PROFESSOR: Probability density, yes.

概率密度。

Let's think about probability density.

让我们来考虑概率密度。

Think of it as a probability density plot.

把它看成是一个概率密度图。

The general expression of probability density of total cost is given.

给出了总费用弹性概率密度的一般表达式。

专业解析

概率密度（Probability Density）是概率论与统计学中描述连续型随机变量概率分布的核心概念。它本身不是概率值，而是描述概率在某个值附近“密集程度”的函数。以下是详细解释：

定义与核心性质
对于一个连续型随机变量 (X)，其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）记为 (f(x))，需满足以下两个关键性质：
- 非负性：对所有 (x)，有 (f(x) geq 0)。
- 归一性：概率密度函数在整个定义域上的积分等于 1，即 (int_{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1)。
  这意味着概率密度曲线下的总面积代表了所有可能结果的总概率（100%）。
物理意义 - “单位概率”的密度
概率密度 (f(x)) 在点 (x) 处的值，代表了概率在该点附近单位长度上的“密集程度”。更精确地说，随机变量 (X) 落在区间 ([x, x + Delta x])（(Delta x) 很小）内的概率近似等于 (f(x) cdot Delta x)：

$$P(x leq X leq x + Delta x) approx f(x) cdot Delta x$$

因此，概率密度值大的地方，表示随机变量取该值附近小范围的可能性相对较高；密度值小的地方，可能性相对较低。它本身的值可以大于 1（只要曲线下面积仍为 1），这不同于概率值（总是介于 0 和 1 之间）。
与累积分布函数（CDF）的关系
概率密度函数 (f(x)) 是累积分布函数 (F(x))（即 (P(X leq x))）的导数：

$$f(x) = frac{d}{dx} F(x)$$

反之，累积分布函数是概率密度函数从 (-infty) 到 (x) 的积分：

$$F(x) = P(X leq x) = int{-infty}^{x} f(t) , dt$$

这揭示了概率密度如何通过积分转化为具体的概率（如 (X) 落在区间 ([a, b]) 的概率为 (P(a leq X leq b) = int{a}^{b} f(x) , dx)）。

权威参考来源：

Sheldon Ross 所著的经典教材《概率论基础教程》（A First Course in Probability）对连续随机变量和概率密度函数有系统阐述。
陈希孺院士的《概率论与数理统计》是国内权威教材，清晰定义了概率密度及其性质。
George Casella 与 Roger L. Berger 合著的《统计推断》（Statistical Inference）在高等统计层面深入讨论了概率密度函数的意义与应用。

网络扩展资料

“Probability density”是概率论和统计学中的核心概念，主要用于描述连续型随机变量的概率分布特性。以下是详细解释：

1. 基本定义

概率密度函数（Probability Density Function, PDF）是描述连续随机变量在某个特定值附近概率分布的数学函数。
关键点：概率密度本身不是概率，而是概率的“密度”。只有通过对密度函数在某一区间积分，才能得到该区间的实际概率值。

2. 数学表达

设连续型随机变量为 ( X )，其概率密度函数为 ( f(x) )，则： $$ P(a leq X leq b) = int_{a}^{b} f(x) , dx $$
概率密度函数需满足：
1. 非负性：( f(x) geq 0 )（对所有 ( x )）；
2. 归一性：( int_{-infty}^{infty} f(x) , dx = 1 )。

3. 与离散概率的区别

离散型变量：使用概率质量函数（PMF），直接给出每个可能取值的概率（如掷骰子的概率）。
连续型变量：单个点的概率为 ( 0 )，必须通过区间积分计算概率（如测量某人身高恰好为170cm的概率为0，但身高在169.5cm至170.5cm的概率非零）。

4. 常见例子

正态分布：概率密度函数为钟形曲线，公式： $$ f(x) = frac{1}{sigma sqrt{2pi}} e^{-frac{(x-mu)}{2sigma}} $$ 其中 ( mu ) 是均值，( sigma ) 是标准差。
均匀分布：在区间 ([a, b]) 上密度为常数 ( frac{1}{b-a} )，其他区域为0。

5. 应用场景

统计分析：用于建模连续数据（如温度、收入、时间等）。
机器学习：在贝叶斯推断、生成模型中用于参数估计和概率建模。
物理学：描述粒子位置或速度的概率分布（如量子力学中的波函数模方）。

注意事项

概率密度可大于1：例如，均匀分布在区间 ([0, 0.5]) 的密度为2，但积分总概率仍为1。
与累积分布函数（CDF）的关系：CDF是PDF的积分，即 ( F(x) = int_{-infty}^{x} f(t) , dt )。

希望以上解释能帮助你清晰理解“probability density”的概念！如果有具体应用场景或更深入的问题，欢迎进一步探讨。

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