Poisson equation是什么意思，Poisson equation的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

例句

专业解析

泊松方程（Poisson's equation）是数学物理中一类重要的偏微分方程，用于描述标量势场与其源项之间的关系。其一般形式为：

$$ Delta u = f $$

其中$Delta$表示拉普拉斯算子，$u$为势函数，$f$为源项。在静电学中，方程可具体化为$Delta phi = -rho/epsilon_0$，其中$phi$为电势，$rho$为电荷密度，$epsilon_0$为真空介电常数。

核心特性与应用

1. 物理意义

   该方程揭示了势场的空间分布与场源（如电荷、质量或热源）的定量关系。例如在引力场中，势函数与质量密度成正比；在热力学中则关联温度场与热源分布。

2. 数学性质

   作为椭圆型偏微分方程的典型代表，其解的存在性与唯一性依赖于边界条件。齐次形式（即$f=0$）退化为拉普拉斯方程，对应无源区域的势场分布。

3. 工程应用

   在电气工程中用于计算电场强度分布，机械工程中分析弹性体变形，以及计算机图形学的曲面重建算法。NASA曾用该方程模拟航天器周围等离子体环境。

历史溯源

法国数学家西莫恩·泊松（Siméon Denis Poisson）在1813年研究引力势理论时首次提出该方程，后经高斯、格林等人发展完善，成为电磁场理论的基石之一。剑桥大学保存的19世纪手稿显示，麦克斯韦方程组中的电场分析直接引用了泊松的研究成果。

数值求解

现代工程领域主要采用有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）进行数值求解。COMSOL Multiphysics等仿真软件的核心算法即基于该方程的离散化形式，精度可达纳米级电子器件模拟需求。

网络扩展资料

泊松方程（Poisson equation）是数学物理中一个重要的偏微分方程，用于描述标量势场在存在源或汇时的分布规律。其基本形式为：

$$

abla phi = f $$

其中：

• $ abla$ 是拉普拉斯算子（在三维笛卡尔坐标系中为 $frac{partial}{partial x} + frac{partial}{partial y} + frac{partial}{partial z}$）；
• $phi$ 是待求的标量势函数；
• $f$ 是已知的源项函数，表示场中分布的源或汇的强度。

关键意义与应用领域

1. 物理意义
   泊松方程描述了有源场中势函数的分布。例如：

   • 静电学：电势$phi$满足$ abla phi = -rho/epsilon_0$，其中$rho$为电荷密度，$epsilon_0$为真空介电常数。
   • 引力场：牛顿引力势$phi$满足$ abla phi = 4pi Grho$，$rho$为质量密度。
   • 热传导：稳态温度场中，若有热源分布，温度$T$满足$ abla T = -Q/k$，$Q$为热源强度，$k$为热导率。

2. 与拉普拉斯方程的关系
   当源项$f=0$时，泊松方程退化为拉普拉斯方程$ abla phi = 0$，描述无源场的势分布（如真空中的静电场）。

3. 求解方法

   • 解析解：适用于对称性问题（如球对称、柱对称），可通过分离变量法、格林函数法求解。例如，点电荷产生的电势$phi(r)=frac{q}{4piepsilon_0 r}$。
   • 数值解：有限差分法、有限元法用于复杂几何或非均匀介质问题。

4. 边界条件的重要性
   方程的解需结合边界条件（如固定势的狄利克雷边界条件，或势梯度的诺伊曼边界条件）才能唯一确定。

数学扩展

若推广到矢量场，泊松方程可改写为： $$

abla mathbf{A} = -mu_0 mathbf{J} $$ 用于描述磁场矢量势$mathbf{A}$与电流密度$mathbf{J}$的关系。

该方程由法国数学家西莫恩·泊松于1813年提出，现已成为电磁学、流体力学、天体物理学等领域的核心工具。理解泊松方程是掌握场论和连续介质力学的基础。

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