normal subgroup是什么意思，normal subgroup的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

[数] 正规子群；不变子群

例句

Unascertained normal subgroup is also stu***d.

并且研究了未确知正规子群。

Especially, people pay much attention to those normal subgroup.

这些子群中，人们特别关注那些正规的同余子群。

In Chapter 3, we investigate how the number of conjugacy classes outside a normal subgroup of a finite group influences its structure.

第三章主要研究有限群的正规子群外的共轭类的个数对群结构的影响。

In this paper, we study the condition which makes the fundamental group of graph have every positive integer as the index of some normal subgroup.

本文主要研究图的基本群的正规子群的指数何时成为任意正整数的条件。

By using the theories in basic algebra about automorphism, left translation and normal subgroup, in the holomorph of G is discussed briefly, and several related conclusions are obtained.

运用基础代数中有关自同构、左平移、正规子群等理论，对群G的全形进行了简单的探讨，证明了几个有关的结论。

专业解析

在抽象代数中，正规子群（normal subgroup）是群论的核心概念之一，定义为群( G )中满足共轭不变性的特殊子群。具体而言，设( N )是群( G )的子群，若对于所有( g in G )，均有( gNg^{-1} = N )，则称( N )为( G )的正规子群，记作( N trianglelefteq G )（参考来源：Springer出版的《Abstract Algebra》教材。

关键性质与等价条件

陪集等价性：正规子群的左陪集与右陪集完全重合，即( aN = Na )对所有( a in G )成立。
商群构造基础：通过正规子群( N )可将原群( G )分解为商群( G/N )，这是群同态基本定理的核心（来源：剑桥大学数学系公开讲义。
核的必然性：任何群同态( phi: G to H )的核（kernel）都是( G )的正规子群，反之每个正规子群均可视为某同态的核（参考来源：数学百科全书MathWorld。

典型示例

交换群的所有子群均为正规子群，例如整数加法群( mathbb{Z} )中，( nmathbb{Z} )（所有( n )的倍数构成的子群）均是正规子群。
对称群( S_n )中，交错群( A_n )是其指数为2的正规子群（来源：美国数学会《群论导论》。

这一概念在Galois理论、表示论及物理系统的对称性分析中均有重要应用，例如晶格结构的对称性分类即依赖于正规子群的性质分析（参考来源：arXiv数学物理预印本库。

网络扩展资料

在抽象代数中，“正规子群”（normal subgroup）是群论的核心概念之一，具有以下关键特性：

1. 定义

设 ( N ) 是群 ( G ) 的一个子群，若满足以下等价条件之一，则称 ( N ) 是 ( G ) 的正规子群，记作 ( N trianglelefteq G )：

共轭封闭性：对任意 ( g in G )，有 ( gNg^{-1} = N )，即共轭作用保持 ( N ) 不变。
陪集相等性：对任意 ( g in G )，左陪集 ( gN ) 等于右陪集 ( Ng )。

2. 直观理解

正规子群是群 ( G ) 中“对称性较高”的子结构，其陪集在群运算下可构成一个商群 ( G/N )。
非正规子群的左陪集与右陪集不完全重合，无法形成商群结构。

3. 例子

交换群的所有子群：若 ( G ) 是交换群，任意子群 ( N ) 均满足 ( gN = Ng )，因此都是正规子群。
对称群 ( S_3 )：子群 ( A_3 = {e, (1 2 3), (1 3 2)} ) 是正规的，而子群 ( {e, (1 2)} ) 不是正规的。
平凡子群和自身：群 ( G ) 本身和仅含单位元的子群 ({e}) 总是正规的。

4. 重要性

商群构造：只有正规子群能通过陪集定义商群 ( G/N )，这是研究群结构分解的重要工具。
同态基本定理：若 ( phi: G to H ) 是群同态，则核 ( ker(phi) ) 是 ( G ) 的正规子群；反之，任何正规子群都是某个同态的核。
单群分类：没有非平凡正规子群的群（单群）是群论中不可分解的“基本单元”。

5. 相关公式

共轭条件：( forall g in G, , gNg^{-1} subseteq N )
商群运算：若 ( N trianglelefteq G )，则商群 ( G/N ) 的运算为 ( (aN)(bN) = (ab)N )。

通过理解正规子群，可以深入分析群的结构及其同态映射性质。这一概念在伽罗瓦理论、物理对称性分析等领域有广泛应用。

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