[数] 中值定理，[数] 平均值定律
Mean Value Theorem. Go over Homework 3.
复习3平均值定理。讨论作业3。
A new way to prove Lagrange's mean value theorem is given using the theorem of interval nest.
应用区间套定理给出了拉格朗日中值定理一个新的证明。
Mean value theorem and Taylor formula are generally proofed by constructing an auxiliary function.
中 值 定理 是研究函数特性的一个有力工具。
This paper discusses the asymptotic rate of mean value point in second mean value theorem for integrals.
主要讨论了第二积分中值定理“中值点”的渐近性和渐近速度。
Secondly, the Lagrange mean value theorem in some proof of identity and the inequality in a wide range of applications.
其次，拉格朗日中值定理在一些等式和不等式的证明中应用十分广泛。
中值定理（Mean Value Theorem）是微积分学中的核心定理之一，揭示了连续且可导函数在区间内的平均变化率与瞬时变化率的关系。其内容可分为以下三部分：
定理条件
若函数( f(x) )满足：
则至少存在一点( c in (a, b) )，使得： $$ f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ 这一条件表明函数需“光滑”无间断且无尖点（参考来源：《托马斯微积分》第14版）。
几何意义
定理的结论等价于：在区间内存在某点的切线斜率等于连接区间端点割线的斜率。例如，汽车在1小时内行驶120公里，其平均速度为120 km/h，根据中值定理，必定存在某一时刻的瞬时速度恰好为120 km/h（参考来源：Khan Academy微积分课程）。
实际应用
中值定理是证明其他重要结论（如泰勒展开、洛必达法则）的基础工具。在工程学中，它被用于分析物理量的平均变化与极值关系，例如材料应力分布或电路电流变化（参考来源：MIT开放式课程18.01单变量微积分）。
该定理的严格证明可参考MathWorld对中值定理的数学推导，其历史背景与发展可追溯至柯西等数学家的研究（参考来源：斯坦福大学数学史档案）。
中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的核心定理之一，属于微分学的基础内容。其核心结论是：在满足特定条件的情况下，函数在某个区间内至少存在一点，使得该点的瞬时变化率等于整个区间的平均变化率。
若函数 ( f(x) ) 满足：
则存在至少一点 ( c in (a, b) )，使得： $$ f'(c) = frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$
该定理表明，在区间 ([a, b]) 上必然存在一个点 ( c )，其对应的切线斜率等于连接区间端点 ((a, f(a))) 和 ((b, f(b))) 的割线斜率。这为分析函数的整体行为与局部导数关系提供了桥梁。
考虑函数 ( f(x) = x ) 在区间 ([0, 2]) 上的情况：
这一定理将微分学与积分学的基本概念联系起来，是理解微积分应用（如物理运动分析、经济学边际效应等）的重要工具。
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