linearly dependent是什么意思，linearly dependent的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

线性相关；线性相依

例句

It also does not have to be linearly dependent on your earnings.

不一定要同你的收入挂钩。

The article sums up eight methods to judge the linearly dependent and the linearly independent of vectors.

文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的八种方法。

The efficacy coefficient method has been propounded on the basis of multiple objectives programming theory, assuming that the value and the index data are linearly dependent.

功效系数法是基于多目标规划原理提出来的，并假定功效分值和各指标数值呈线性关系。

In this paper, two inferences and their applied examples about the equivalence and the linearly dependent of two vector groups by using its discriminating theorem 1, 2 are presented.

利用向量组线性相关性的基本判别定理1和2，给出了判别两个向量组等价及其线性相关性的推论1和2及应用举例。

The resistance and inductance manifest the frequency-dependent characters linearly varying within some frequency bands.

电阻和电感参数均有相应的频变特性，即在特定频段内呈线性变化。

专业解析

在数学中，线性相关（linearly dependent）描述的是向量组内存在冗余关系。具体而言：

核心定义：一组向量（通常属于某个向量空间）被称为线性相关的，当且仅当其中至少存在一个向量可以表示为组内其他向量的线性组合。这意味着该向量不是“独立”的，它的信息已经包含在其他向量之中。反之，如果没有任何一个向量能表示为其他向量的线性组合，则该组向量称为线性无关（linearly independent）。
数学表达：对于向量组 ${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, dots, mathbf{v}_n}$，线性相关意味着存在不全为零的标量 $c_1, c_2, dots, c_n$，使得以下线性方程成立： $$ c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + dots + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} $$ 其中 $mathbf{0}$ 是零向量。这个方程称为该向量组的线性相关关系。如果只有当所有标量 $c_1 = c_2 = dots = c_n = 0$ 时该方程才成立，则向量组线性无关。
几何直观：
- 在二维平面（$mathbb{R}$）中，两个向量线性相关当且仅当它们共线（位于同一条直线上）。
- 在三维空间（$mathbb{R}$）中，三个向量线性相关当且仅当它们共面（位于同一个平面上）。
- 更一般地，线性相关的向量组张成的空间维数小于向量组中向量的个数。
判定方法：
- 将向量组按列排成矩阵。
- 如果该矩阵的秩（Rank）小于向量的个数，则向量组线性相关。
- 如果该矩阵的秩等于向量的个数，则向量组线性无关。

网络扩展资料

"Linearly dependent"（线性相关）是线性代数中的核心概念，用于描述一组向量之间的关系。以下是详细解释：

1. 基本定义

一组向量被称为线性相关，当且仅当其中至少存在一个向量可以表示为其他向量的线性组合。数学上，对于向量集合${mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ..., mathbf{v}_n}$，若存在不全为零的标量$c_1, c_2, ..., c_n$，使得： $$ c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 + ... + c_nmathbf{v}_n = mathbf{0} $$ 则这些向量线性相关。若唯一解是$c_1=c_2=...=c_n=0$，则称为线性无关。

2. 直观理解

几何视角：在二维空间中，两个向量线性相关意味着它们共线；在三维空间中，三个向量线性相关意味着它们共面。
冗余性：线性相关表明向量之间存在冗余信息，至少一个向量对张成的空间没有贡献新维度。

3. 判断方法

行列式法：若向量构成方阵，行列式为零则线性相关。
秩判断：将向量排列为矩阵，若矩阵的秩小于向量个数，则线性相关。
齐次方程解：若齐次线性方程组有非零解，则系数矩阵的列向量线性相关。

4. 应用场景

方程组解的分析：系数矩阵列向量线性相关时，方程组可能有无穷多解。
基底判断：线性无关的向量组才能构成向量空间的基底。
降维：机器学习中，线性相关性可能导致特征冗余，需通过主成分分析（PCA）等方法处理。

示例

假设有向量$mathbf{v}_1 = begin{bmatrix}12end{bmatrix}$和$mathbf{v}_2 = begin{bmatrix}24end{bmatrix}$，由于$mathbf{v}_2 = 2mathbf{v}_1$，它们线性相关。此时方程$c_1mathbf{v}_1 + c_2mathbf{v}_2 = mathbf{0}$有非零解（如$c_1=2, c_2=-1$）。

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