Laplacian是什么意思，Laplacian的意思翻译、用法、同义词、例句

常用词典

n. [数] 拉普拉斯算子（调和算子）

adj. [数] 拉普拉斯算子的（调和算子的）

例句

The operator in parentheses in (3. 54) is. called the Laplacian operator.

在(3.54)的括号里的算符叫做拉普拉斯算符。

On unique continuation property for the sub-Laplacian in groups of Heisenberg type;

研究了麦克斯韦方程和波动方程的唯一延拓性质。

This is a VC image processing source code, using Laplacian sharpening edge detection.

这是一个VC图象处理源代码，用拉普拉斯锐化进行边缘检测。

Realize the use of Laplacian sharpening realize, have the effect of map, we can look at.

实现了用拉普拉斯实现锐化，有效果图，大家可以看一下。

It is composed of nonsubsampled Laplacian pyramid and nonsubsampled directional filter Banks.

它是由非抽样塔形滤波器组和非抽样方向滤波器组组成。

常用搭配

laplacian operator

拉普拉斯算符

同义词

n.|laplace operator;[数]拉普拉斯算子（调和算子）

专业解析

拉普拉斯算子（Laplacian）是数学和物理学中一个极其重要的微分算子，尤其在描述物理场的性质（如电势、温度分布、流体运动）时起着核心作用。其本质是函数梯度的散度（Divergence of the Gradient）。

1. 数学定义与表达式：

核心概念：对于一个定义在 n 维欧几里得空间中的标量函数 ( f(x_1, x_2, ..., x_n) )，其拉普拉斯算子 ( Delta f ) 定义为该函数所有二阶偏导数的和。
笛卡尔坐标系（最常见）：
- 在二维空间 (x, y)： $$ Delta f = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} $$
- 在三维空间 (x, y, z)： $$ Delta f = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} $$
- 在 n 维空间： $$ Delta f = sum_{i=1}^n frac{partial f}{partial x_i} $$
其他坐标系：拉普拉斯算子在不同坐标系（如柱坐标、球坐标）下有相应的表达式形式，以适应不同几何形状的问题求解。其本质仍然是梯度的散度，但具体计算形式不同。
符号：拉普拉斯算子常用符号包括 ( Delta f )、( abla f )（nabla 平方 f）或 ( abla cdot abla f )（梯度的散度）。

2. 物理意义：

描述“源”或“汇”：拉普拉斯算子衡量的是函数在某一点附近平均值与其在该点值的差异。物理上，这通常对应于该点是否存在“源”（产生场的点，如正电荷）或“汇”（吸收场的点，如负电荷）。
- ( Delta f > 0 )：表示该点是函数的“源”。例如，在静电场中，如果某点电势的拉普拉斯大于零，则该点存在正电荷（电荷密度为正）。
- ( Delta f < 0 )：表示该点是函数的“汇”。例如，在静电场中，如果某点电势的拉普拉斯小于零，则该点存在负电荷（电荷密度为负）。
- ( Delta f = 0 )：表示该点既不是源也不是汇，函数在该点满足拉普拉斯方程（调和函数）。例如，真空中的静电场（无电荷区域）电势满足拉普拉斯方程。
描述扩散与平衡：在热传导方程中，拉普拉斯算子描述了热量从高温区域向低温区域扩散的速率。在稳态（温度分布不随时间变化）时，温度场满足拉普拉斯方程 ( Delta T = 0 )，表示系统达到热平衡，内部无热源。
描述曲率：在图像处理和计算机视觉中，图像的拉普拉斯可以近似表示图像灰度的局部曲率或边缘信息，常用于边缘检测。

3. 核心应用领域：

电磁学：麦克斯韦方程组中的泊松方程（( Delta phi = -rho / epsilon_0 )）和拉普拉斯方程（( Delta phi = 0 )）是求解静电场和静磁场电势/磁势的基础。来源：大学物理或电磁学标准教材，如《电磁场与电磁波》。
流体力学：描述不可压缩流体的速度势或流函数满足拉普拉斯方程（在无旋、不可压缩条件下）。纳维-斯托克斯方程在特定简化下也涉及拉普拉斯算子。来源：《流体力学》教材。
热传导：热传导方程（( partial u / partial t = alpha Delta u )）包含拉普拉斯算子，描述温度场随时间的变化。稳态热传导满足拉普拉斯方程。来源：《传热学》教材。
量子力学：薛定谔方程（( ihbar partial psi / partial t = -frac{hbar}{2m} Delta psi + Vpsi )）的核心项包含拉普拉斯算子，作用于波函数 ( psi )，描述粒子的动能。来源：《量子力学》教材。
理论数学：调和函数（满足 ( Delta f = 0 )）是复分析、偏微分方程理论和微分几何中的重要研究对象，具有许多优美的性质（如平均值性质、极大值原理）。来源：《偏微分方程》或《复分析》教材。
计算机视觉与图像处理：广泛用于边缘检测（拉普拉斯滤波器）、图像增强和图像分割。来源：数字图像处理标准教材或论文。

拉普拉斯算子 ( Delta ) 是一个二阶微分算子，定义为梯度的散度。它在数学上表示函数在某点所有空间方向上的二阶导数之和。其物理意义深刻，核心在于量化标量场（如电势、温度、浓度）在某点相对于其周围平均值的“偏离”程度，从而揭示该点是否存在产生场或吸收场的“源”或“汇”。这使得拉普拉斯算子成为描述自然界众多平衡、扩散和波动现象（如电磁场分布、热传导、流体流动、量子力学波函数）不可或缺的数学工具，在物理学、工程学和数学的众多分支中具有基础性地位。其定义和基本性质是数学物理方法的标准内容，具体应用可参考相关领域的权威教材或学术资源（如大学物理系、数学系、工程系的标准课程教材）。

网络扩展资料

Laplacian（拉普拉斯算子/拉普拉斯量）是数学和物理学中的一个重要概念，在不同领域有不同表现形式：

数学中的拉普拉斯算子
定义为函数的二阶导数的和，符号为 $ abla$ 或 $Delta$。在三维欧氏空间中表示为： $$

abla f = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} $$ 它衡量函数在某点的曲率与周围值的平均差异，广泛用于描述扩散、势场等物理现象。

物理学中的应用
- 电磁学中，拉普拉斯方程 $ abla phi = 0$ 描述无源静电场的电势分布。
- 量子力学中，哈密顿算符包含拉普拉斯项，用于描述粒子动能。
图像处理中的拉普拉斯算子
作为边缘检测工具，通过卷积核（如 $begin{bmatrix}0&1&01&-4&10&1&0end{bmatrix}$）增强图像中灰度突变区域，常用于锐化和特征提取。
图论中的拉普拉斯矩阵
定义为 $L = D - A$，其中 $D$ 是度数矩阵，$A$ 是邻接矩阵。该矩阵用于分析图的结构特性，如连通性、谱聚类等。
工程学中的意义
在热传导方程 $frac{partial u}{partial t} = alpha abla u$ 中描述热量扩散过程，也在流体力学中用于速度势分析。

其核心思想是通过二阶微分/差分捕捉局部与周围环境的差异，这一特性使其成为多学科交叉研究的基石工具。

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